独立な物質収支式は、個別に追跡する各々の異なる独立成分または成分種について、1つずつ保存則の式を書くことで立てられます。 3成分の細胞分離またはガス混合操作では、細胞、溶解媒体、別の溶質、あるいは3種類のガス成分などについて、3つの独立な成分収支が得られます。全質量収支または全モル収支も書けますが、それは成分収支の合計にすぎないため、追加の独立な式にはなりません。

独立な物質収支の数は、ストリーム数や追加の合計収支を書けるかどうかではなく、異なる保存成分の数によって決まります。これらの収支は、未知数の数と独立な方程式の数が一致するまで、プロセス仕様およびストリーム制約と組み合わせる必要があります。

明確に定義したシステム境界から始める

単位操作を定義する

解析対象となる特定の装置またはプロセス区間の周囲に境界を描きます。

細胞分離パイロットシステムでは、境界は遠心分離機、膜分離器、またはろ過ユニットを囲むものになります。ガス混合システムでは、混合マニホールドを囲み、各入口と合流した出口を含む場合があります。

その境界を横切るストリームのみが収支式に現れます。

全体収支と局所収支を分ける

パイロットプラント全体に対する全体収支には、外部の供給ストリームと製品ストリームが含まれますが、各単位を接続する内部ストリームは除外されます。

分離器、混合器、接合点、または分岐点に対する局所収支には、そのサブシステムだけに出入りするストリームが含まれます。局所収支は、内部ストリームの流量と組成を決定するために必要となることがよくあります。

計算基準を選択する

基準は、連続運転1時間などの指定された時間間隔、または一定量の供給物とすることができます。

定常状態の運転では蓄積がゼロとなるため、各成分収支は一般に次の形になります：

[ \text{成分の流入}=\text{成分の流出} ]

非定常運転では、蓄積を含める必要があります：

[ \text{流入}-\text{流出}=\text{蓄積} ]

独立した各成分について1つずつ収支を書く

保存成分を特定する

量を独立に追跡する必要がある化学種または物質カテゴリを列挙します。

例：

細胞分離プロセスにおける細胞、媒体、溶解溶質
ガス混合プロセスにおける酸素、窒素、二酸化炭素
希釈または濃縮操作における溶媒と溶質

各カテゴリは、あるカテゴリの量を他のカテゴリの量だけから計算できない程度に、互いに明確に異なっていなければなりません。

変数として成分流量を使用する

ストリーム (s) と成分 (i) について、次のような成分流量を定義します：

[ F_{i,s} ]

定常状態の単位操作における成分 (i) の収支は次のようになります：

[ \sum_{\text{入口}} F_{i,s}

\sum_{\text{出口}} F_{i,s} ]

成分流量を用いて収支を書くと、プロセス関係が線形である場合に方程式を線形に保てます。

例：3成分分離器

分離器が供給ストリーム (F) を受け取り、成分 (A)、(B)、(C) を含むストリーム (P) と (W) を生成するとします。

独立な収支は次のとおりです：

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

これらの方程式により、3成分すべての保存が独立に満たされます。

全収支も書くことができます：

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

ただし、この全収支式は3つの成分収支式を加算することで得られます。したがって数学的に従属しており、4つ目の独立収支として数えることはできません。

仕様とストリーム制約を追加する

既知の分離または混合関係を使用する

成分収支だけでは、未知のストリーム変数をすべて決定できない場合があります。

追加の独立な関係には、次のようなものがあります：

製品ストリームにおける指定された細胞回収率
ガス成分の既知の分割率
目標出口濃度
2つの入口流量間のあらかじめ設定された比率
既知の純度または除去効率
測定された全流量

例えば、回収率 (R) を持つ細胞分離器では、次式を使用できます：

[ P_{\text{cells}}=R F_{\text{cells}} ]

指定された出口モル分率を持つガス混合器では、次式を使用できます：

[ y_{\mathrm{CO_2},out}=y_{\mathrm{CO_2},target} ]

これらはプロセス仕様であり、追加の保存則ではありません。

分率の合計制約を適用する

ストリームを質量分率またはモル分率で表す場合、分率の合計は1でなければなりません：

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

または

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

3成分ストリームの場合：

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

この制約は、組成変数が未知の場合に必要です。これは物理的な正規化条件であり、4つ目の成分収支ではありません。

独立な関係と冗長な関係を区別する

すでに含まれている方程式から導出できない場合にのみ、関係式は有用な情報を追加します。

例えば、すべての成分収支が存在する場合、全収支は冗長です。同様に、3つのモル分率のうち2つを指定すると、分率の合計制約によって3つ目がすでに決まる場合があります。

目的は、書く方程式の数を最大化することではありません。正しい数の独立な方程式を得ることです。

独立性と自由度を確認する

係数行列を作成する

方程式が線形の場合、行列形式で記述します：

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

ここで、(\mathbf{x}) には未知の成分流量、全流量、または組成変数が含まれます。

(A) のランクは、システムに含まれる独立な方程式の数を示します。ある行が他の行の線形結合である場合、その行はランクを増加させません。

自由度解析を実行する

次を計算します：

[ \text{自由度}

\text{未知数の数}

\text{独立な方程式の数} ]

完全に指定されたモデルの自由度は、一般にゼロになります。

自由度が正の場合、追加の測定または仕様が必要です。
自由度がゼロの場合、モデルは完全に指定されています。
自由度が負の場合、冗長または矛盾する情報が含まれている可能性があります。

解く前にモデルを検証する

特にデータが丸められていたり、方程式がほぼ従属していたりする場合、モデルの定式化が不適切でも、ソルバーが数値結果を返すことがあります。

行列のランク、残差誤差、解の物理的妥当性を確認してください。変数の定義で符号付き量が明示的に許可されていない限り、流量と濃度は負になってはいけません。

代表的なパイロットシステムに方法を適用する

細胞分離システム

分離器内で細胞が生成も破壊もされない場合、細胞集団を独立に保存される成分として扱います。

供給、濃縮細胞、清澄液のストリームを持つ分離器では、細胞収支を次のように書けます：

[ F_{\text{cells}}

P_{\text{cells}}+W_{\text{cells}} ]

意図するモデルに応じて、追加の収支で溶解溶質、懸濁固形分、または溶媒を追跡できます。

操作によって細胞の増殖、死滅、溶解、または化学反応が生じる場合、対応する生成項または消費項を含める必要があります。単純な分離器収支は、これらの影響が無視できる場合、または意図的に除外している場合にのみ有効です。

ガス混合システム

非反応性のガス混合では、各ガス成分について1つずつモル収支を書きます。

成分 (i) について：

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,out} ]

入口 (k) の全モル流量が (F_k)、モル分率が (y_{i,k}) の場合：

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

出口組成は次式から求められます：

[ y_{i,out}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

出口モル分率は、次の条件も満たさなければなりません：

[ \sum_i y_{i,out}=1 ]

この最後の関係は整合性制約であり、成分収支一式と全出口流量の定義から従属的に得られます。

複数の接続された単位操作

混合器、分離器、反応器、分岐器を含むシステムでは、解こうとしている問題に必要なレベルで収支を設定します。

全体の保存を確認するには全体境界を使用し、内部ストリーム変数を決定するには各単位操作の境界を使用します。内部ストリームは全体収支では相殺されますが、局所収支では依然として重要です。

トレードオフを理解する

全収支は有用だが独立ではない

全収支は、計算の確認や測定値の不整合の検出に役立ちます。

ただし、対応するすべての成分収支に加えて独立な式として数えることはできません。一部の成分収支のみを使用する場合は、全収支が独立な情報を与えることがありますが、既存の方程式に対する独立性を確認する必要があります。

組成変数は非線形方程式を生じさせることがある

全流量と組成を同時に使用すると、未知数の積が生じることがあります：

[ F_s y_{i,s} ]

(F_s) と (y_{i,s}) の両方が未知の場合、方程式は非線形です。

主な未知数として成分流量 (F_{i,s}) を使用すると、より単純な線形モデルになることがよくあります。その後、必要に応じて全流量と組成を計算できます。

測定値は整合しない場合がある

校正誤差、ノイズ、サンプリングの差、または未測定の損失があるため、パイロットプラントのセンサーがすべての保存方程式を厳密に満たすことはほとんどありません。

測定データによってモデルが過剰決定される場合、エンジニアはデータ調整または最小二乗法を使用することがあります。保存方程式は物理的基盤として維持し、測定の不確かさによって偏差の扱いを決定します。

反応系には追加項が必要

反応を伴う単位操作では、成分収支は単純に流入＝流出とはなりません。

一般的な定常状態の収支は次のとおりです：

[ \text{流入}-\text{流出} + \text{反応による生成}

\text{反応による消費} =0 ]

これらの生成項および消費項を表すために、独立な反応進行度または反応速度を導入できます。これは、成分が単に再分配される非反応性の分離器または混合器とは異なります。

この方法をプロジェクトに適用する方法

適切な方程式セットは、選択した変数と利用可能な仕様によって決まります。

主な目的が細胞分離の場合： 細胞および追跡が必要なその他すべての物質カテゴリについて独立な収支を書き、その後に回収率、純度、分割率、または濃度の仕様を追加します。
主な目的がガス混合の場合： 各ガス成分について1つずつモル収支を書き、既知の入口流量と組成を使用し、出口モル分率の合計条件を適用します。
主な目的が複数単位操作からなるパイロットプラントの場合： 全体境界と局所境界の両方を定義し、必要な各サブシステムについて収支を取り、全体収支からのみ内部ストリームを除外します。
主な目的が数値解法の場合： 可能な限り成分流量を使用し、行列ランクを評価して、自由度がゼロであることを確認します。
主な目的が測定されたパイロットプラントデータの場合： 独立な収支を保存制約として使用し、冗長な方程式を追加するのではなく、不整合な測定値を調整します。

独立な物質収支は、独立に保存される各成分と、冗長性のない物理的・プロセス上の制約一式を対応付けることで確立されます。

まとめ表：

主要項目	実務上の指針
独立な収支	独立に追跡する各成分または化学種について、1つずつ保存則の式を書きます。
細胞分離システム	細胞、溶解媒体、溶質、その他の関連する物質カテゴリを追跡します。
ガス混合システム	入口流量とモル分率を用いて、各ガス成分について1つずつモル収支を書きます。
全収支	有用な確認手段として使用しますが、すべての成分収支が含まれている場合は独立な式として数えません。
追加方程式	必要に応じて、回収率、純度、分割率、濃度、流量、分率の合計に関する制約を追加します。
モデル検証	行列ランク、自由度、残差、物理的妥当性を確認します。
反応系	反応、増殖、死滅、または溶解による生成項と消費項を含めます。

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