流体の全応力は、等方性の圧力応力と偏差粘性応力に分けられます。 一般的な連続体力学の符号規約では、Cauchy応力テンソルは (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}) と表されます。ここで、(p) は静圧または熱力学的圧力、(\boldsymbol{\tau}) は粘性応力テンソルです。この分解により、パイロットプラントのモデルでは、流体を輸送・加速する圧力勾配力と、変形によって生じる運動量移動を表す粘性応力を区別できます。

重要な考え方は、圧力があらゆる方向に等しく作用する一方、粘性応力は速度勾配に依存するということです。 これらの発散の和は運動量収支に現れ、圧力損失、壁面摩擦、混合トルク、流量分布を決定します。

応力分解の意味

全応力には圧力効果と粘性効果が含まれる

流体要素に作用する全応力は、Cauchy応力テンソルで表されます。

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

ここで、(\mathbf{I}) は単位テンソル、(-p\mathbf{I}) は等方性の圧力成分、(\boldsymbol{\tau}) は粘性成分または偏差成分です。

負号は、正の圧力を圧縮応力とし、引張法線応力を正とする一般的な規約に従ったものです。

圧力は等方性成分である

圧力は、(x)、(y)、(z) 方向に同じ法線応力を与えます。

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

等方性の圧力場には特定の方向がないため、せん断応力は発生させません。

一般的な応力テンソルでは、熱力学的圧力は平均法線応力と次の関係にあります。

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

したがって、粘性応力は残りの偏差成分となります。

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

その結果、粘性応力テンソルのトレースはゼロになります。

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

このゼロトレース条件により、粘性テンソルは体積応力ではなく偏差応力成分となります。

運動量方程式への分解の導入

一般的な運動量収支から始める

局所的な線形運動量収支は次のように表されます。

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

ここで、(\rho) は密度、(\mathbf{v}) は速度、(D/Dt) は物質微分、(\mathbf{f}) は単位体積当たりの重力などの体積力を表します。

(\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}) を代入すると、次のようになります。

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

これはCauchy運動量方程式の圧力・粘性形式です。

圧力勾配がバルク輸送を駆動する

次の項

[ -\nabla p ]

は、静圧の空間的変化によって生じる力を表します。例えばパイロットスケールの配管では、与えられた圧力降下が流体を配管ネットワーク内で加速させます。

重力下で静止している液体では、圧力は高さによって変化します。(z) を上向きに測ると、次のようになります。

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

ここで、(\mathbf{g}) は下向きです。この静水圧場は、流体が静止しているときに重力と釣り合います。

粘性応力が変形に抵抗する

次の項

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

は、粘性応力の空間的変化によって生じる正味の粘性力を表します。これは、壁面摩擦、速度分布の発達、隣接する流体層間の運動量拡散などの現象を引き起こします。

圧力は静止流体にも存在しますが、粘性応力は一般に速度勾配または変形を必要とします。ただし、より複雑な材料における特殊な構成則効果は例外です。

粘性応力と速度の関係

ニュートン流体の関係

等方性ニュートン流体では、粘性応力は変形速度テンソルに線形に関係します。

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

ここで、

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

です。

ここで、(\mu) は粘度、(\lambda) は体積変形に関連する第2粘性係数です。

非圧縮性流体では、

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

であるため、構成関係は次のように簡略化されます。

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

このとき、一定粘度・一定密度などの仮定のもとで、運動量方程式はよく知られたニュートン流体の形式になります。

せん断応力は速度勾配から生じる

(x) 方向への単純流れで、速度が (y) 方向に変化する場合、支配的な粘性せん断応力は次のようになります。

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

この関係は、パイロットプラントの配管流、撹拌槽、境界層、流路に直接関係します。

壁面せん断を生じさせる同じ勾配が、圧力損失と必要なポンプ動力にも寄与します。

法線粘性応力も発生する

粘性効果はせん断成分に限定されません。加速流、収縮流、拡大流、伸長流では、(\boldsymbol{\tau}) の対角成分が重要になることがあります。

非圧縮性ニュートン流では、これらの法線粘性応力は法線方向の速度勾配に関連し、同時に偏差テンソルのゼロトレース条件を満たします。

パイロットプラント設備への分解の適用

配管ネットワークと流路

配管内では、圧力勾配が主な駆動力となり、粘性応力が運動量を壁面へ伝達します。その結果生じる収支が、速度分布と圧力損失を決定します。

パイロットプラントの乱流では、モデル化される応力には分子粘性と速度変動の効果の両方が含まれます。レイノルズ応力は一般に次のように表されます。

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

ここで、(u') と (v') は速度変動成分です。

混合槽と反応器

撹拌槽では、圧力が全体的な力場と静水圧分布に寄与します。粘性応力は、局所的なエネルギー散逸、せん断曝露、インペラに必要なトルクを支配します。

非ニュートン反応器内容物では、局所粘度が変形速度によって変化することがあります。応力分解は引き続き有効ですが、(\boldsymbol{\tau}) の構成モデルは非線形になります。

分離塔と重力利用設備

沈降塔、デカンター、浮選設備では、静水圧が深さによって変化し、相界面や液位の挙動を決定するのに役立ちます。粘性応力は、沈降抵抗、界面運動、壁面近傍の流れを支配します。

したがって、圧力場と粘性場は異なるモデリング目的を持ちます。圧力は法線力の分布を定め、粘性応力は変形に関連する運動量移動を表します。

熱交換器と熱流動ユニット

熱交換器の流路では、壁面せん断と圧力損失が速度勾配場に関連します。同じ流動構造が、熱境界層と対流熱伝達にも影響します。

高レイノルズ数では、乱流による運動量輸送が分子粘性輸送を大幅に上回ることがあるため、乱流モデルは追加の見かけ応力を考慮する必要があります。

トレードオフの理解

圧力は全法線応力と同じではない

よくあるモデリング上の誤りは、すべての法線応力を静圧として扱うことです。圧縮性流、伸長流、急加速流、非ニュートン流では、法線粘性応力が重要になることがあります。

圧力は応力状態の等方性成分であり、残りの法線応力は偏差テンソルに属します。

乱流応力は分子粘度そのものではなく、モデル化される

乱流では、時間平均した運動量方程式に速度変動によって生じるレイノルズ応力が含まれます。これらは分子粘性応力と同一ではありませんが、乱流モデルではしばしば有効粘度または渦粘度を用いて、その正味の効果を表します。

分子粘度だけを使用すると、乱流状態のパイロット設備における壁面摩擦、圧力損失、混合所要量、ポンプ動力を過小評価する可能性があります。

符号規約は一貫させる必要がある

参考文献によっては、圧縮圧力を (+p\mathbf{I}) として全応力テンソルを定義するものもあれば、(-p\mathbf{I}) を用いるものもあります。どちらの規約も使用できますが、運動量方程式と法線応力の定義では、全体を通じて同じ規約を使用しなければなりません。

標準的な工学形式は次のとおりです。

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

非圧縮性はすべての粘性応力をなくすわけではない

非圧縮性流体では、(\nabla\cdot\mathbf{v}=0) によってニュートン流体の構成方程式から体積膨張項が除かれます。しかし、せん断応力や、その他の速度勾配によって生じる偏差法線応力がなくなるわけではありません。

非ニュートン流体には適切な構成則が必要である

高分子溶液、高濃度懸濁液、発酵ブロスでは、粘度がひずみ速度の大きさに依存することがあります。一般化モデルは次のように記述できます。

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

ここで、(\Gamma) は局所的な変形速度を表します。

圧力・粘性分解は引き続き適用できますが、粘性応力は流体の実測レオロジー挙動に基づいて計算する必要があります。

プロジェクトへの適用方法

適切な分解方法は、使用する設備、流動状態、流体モデルによって異なります。

主な目的が配管の圧力損失である場合： 圧力勾配の寄与を壁面およびバルクの粘性応力から分けて計算し、流れが乱流の場合は乱流レイノルズ応力も含めます。
主な目的が混合または反応器設計である場合： 粘性応力場を用いてインペラトルク、局所エネルギー散逸、せん断曝露を評価し、全体の力と静水圧収支のために圧力も保持します。
主な目的が分離設備である場合： 静水圧を用いて深さ依存の法線荷重を設定し、粘性応力を用いて沈降、界面運動、抗力をモデル化します。
主な目的が非ニュートン流体の処理である場合： 圧力分解は変更せず、偏差応力と実測された速度依存粘度を関連付ける構成則を選択します。
主な目的が過渡運転または乱流運転である場合： 分子粘性応力とモデル化された乱流応力を区別し、圧力損失と運動量輸送を過小評価しないようにします。

等方性圧力と変形依存応力を分離することで、パイロットプラントモデルは、流動、摩擦、混合、分離、スケールアップ挙動を予測するための明確な物理的基盤を得られます。

まとめ表：

応力成分	物理的意味	主なモデリング上の役割	パイロットプラントでの用途
静圧	あらゆる方向に等しく作用する等方性法線応力	流れを駆動し、静水圧荷重を設定する	配管、流路、塔、デカンター
分子粘性応力	速度勾配によって生じる偏差応力	壁面摩擦、運動量拡散、変形をモデル化する	ポンプ、熱交換器、撹拌槽
乱流レイノルズ応力	速度変動によって生じる運動量輸送	乱流における追加の見かけ応力を表す	大流量配管、混合、スケールアップ
非ニュートン応力	流体レオロジーに基づく速度依存の偏差応力	複雑流体におけるせん断、トルク、流動挙動を予測する	高分子溶液、懸濁液、発酵ブロス

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