伝達関数は、攪拌槽式加熱器の非定常エネルギー収支を定常動作点周りで線形化することによって導出されます。 液質量が一定の完全混合槽において、入口温度（T_i）、蒸気温度（T_{st}）、流量（F）、伝熱面積（A）、および総括伝熱係数（U）を考慮すると、得られるモデルは一次系となります。これにより、入口流体温度から槽内温度への伝達関数と、蒸気温度から槽内温度への伝達関数がそれぞれ得られます。

槽内温度は、同一の熱蓄積および除熱ダイナミクスを通じて両方の外乱に応答します。入口温度の経路は流体の入れ替わりによって支配され、蒸気温度の経路はコイルの伝熱容量（UA）によって支配されます。

非定常エネルギー収支から始める

槽と流れの仮定を定義する

槽は完全に攪拌されており、出口温度は槽内温度（T）と等しいと仮定します。また、液量、密度、比熱、流量、および伝熱特性は一定であると仮定します。

槽内には液質量（M）があり、プロセス流体は比熱（C_p）を持ちます。熱は蒸気コイルを通じて次式で流入します。

[ Q = UA(T_{st}-T) ]

ここで、（U）は総括伝熱係数、（A）は有効伝熱面積です。

蓄熱項を記述する

槽内に蓄積される熱エネルギーの変化率は次の通りです。

[ MC_p\frac{dT}{dt} ]

この項は動的挙動を表します。液質量や比熱が大きいほど、槽内温度を変化させるのにより多くのエネルギーが必要となります。

流れと加熱の項を記述する

プロセス流体を通じて流入する正味のエネルギーは次の通りです。

[ FC_p(T_i-T) ]

前半の（FC_pT_i）は供給流体とともに流入するエネルギーを表し、後半の（FC_pT）は完全混合された出口から流出するエネルギーを表します。

蒸気コイルの熱量を加えると、完全な収支式は以下のようになります。

[ MC_p\frac{dT}{dt}

FC_p(T_i-T)+UA(T_{st}-T) ]

動的モデルを整理する

伝熱項を展開する

右辺を展開すると次のようになります。

[ MC_p\frac{dT}{dt}

FC_pT_i-FC_pT+UAT_{st}-UAT ]

槽内温度の項をまとめると次のようになります。

[ MC_p\frac{dT}{dt}+(FC_p+UA)T

FC_pT_i+UAT_{st} ]

方程式を正規化する

（MC_p）で割ると次のようになります。

[ \frac{dT}{dt} + \left( \frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} \right)T

\frac{F}{M}T_i + \frac{UA}{MC_p}T_{st} ]

ここで以下を定義します。

[ a=\frac{F}{M}+\frac{UA}{MC_p} ]

[ b_i=\frac{F}{M} ]

[ b_{st}=\frac{UA}{MC_p} ]

モデルは次のように簡略化されます。

[ \frac{dT}{dt}+aT=b_iT_i+b_{st}T_{st} ]

係数（a）は、槽が新しい平衡状態に達する速度を決定します。その逆数である

[ \tau=\frac{1}{a}

\frac{MC_p}{FC_p+UA} ]

が有効熱時定数です。

偏差変数に変換する

定常動作点を定義する

初期の定常状態値を（T_s）、（T_{i,s}）、（T_{st,s}）とします。定常状態では、

[ \frac{dT}{dt}=0 ]

であるため、定常状態の収支式は

[ aT_s=b_iT_{i,s}+b_{st}T_{st,s} ]

となります。この動作点が外乱を研究するための基準となります。

温度偏差を定義する

偏差変数を次のように定義します。

[ T'=T-T_s ]

[ T_i'=T_i-T_{i,s} ]

[ T_{st}'=T_{st}-T_{st,s} ]

システムパラメータは一定と仮定されているため、動的方程式から定常状態の方程式を引くと次が得られます。

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

b_iT_i'+b_{st}T_{st}' ]

このステップにより、定数の動作点項が消去され、2つの入力の変化に対する応答のみが残ります。

ラプラス変換を適用する

微分方程式を変換する

初期偏差がゼロ（すなわち、槽が定常温度から始まる）と仮定し、ラプラス変換を行うと次のようになります。

[ sT'(s)+aT'(s)

b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]

槽内温度の変換をまとめると、

[ (s+a)T'(s)

b_iT_i'(s)+b_{st}T_{st}'(s) ]

したがって、

[ T'(s)

\frac{b_i}{s+a}T_i'(s) + \frac{b_{st}}{s+a}T_{st}'(s) ]

2つの伝達関数を特定する

入口流体温度から槽内温度への伝達関数は

[ G_i(s)

\frac{T'(s)}{T_i'(s)}

\frac{b_i}{s+a}

\frac{F/M}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]

（蒸気温度偏差はゼロと仮定）となります。

蒸気温度から槽内温度への伝達関数は

[ G_{st}(s)

\frac{T'(s)}{T_{st}'(s)}

\frac{b_{st}}{s+a}

\frac{UA/(MC_p)}{s+F/M+UA/(MC_p)} ]

（入口流体温度偏差はゼロと仮定）となります。

したがって、完全な入出力関係は次の通りです。

[ T'(s)=G_i(s)T_i'(s)+G_{st}(s)T_{st}'(s) ]

モデルを物理的に解釈する

入口温度応答

入口温度の経路は分子に（F/M）を持ちます。流量が高いほど、入口外乱が槽に強く影響し、液の滞留時間が短縮されます。

定常状態における入口温度ゲインは

[ K_i=G_i(0)=\frac{b_i}{a} ]

または

[ K_i

\frac{F/M}{F/M+UA/(MC_p)} ]

蒸気温度応答

蒸気温度の経路は分子に（UA/(MC_p)）を持ちます。伝熱面積や総括伝熱係数を大きくすると、蒸気温度変化が槽に与える影響が増大します。

定常状態ゲインは

[ K_{st}=G_{st}(0)=\frac{b_{st}}{a} ]

または

[ K_{st}

\frac{UA/(MC_p)}{F/M+UA/(MC_p)} ]

この簡略化モデルでは、

[ K_i+K_{st}=1 ]

となります。これは、定常的な槽内温度が入口流体温度と蒸気温度の間の加重平均であることを反映しています。

時定数と極

両方の伝達関数は同じ分母を持つため、同じ極を持ちます。

[ s=-a ]

共通の時定数は

[ \tau=\frac{1}{a} ]

です。（\tau）を用いると、伝達関数は次のように書くこともできます。

[ G_i(s)=\frac{K_i}{\tau s+1} ]

[ G_{st}(s)=\frac{K_{st}}{\tau s+1} ]

共通の極は、両方の入力が同じ槽の熱蓄積によってフィルタリングされることを意味します。定常的な影響は異なりますが、上述の仮定の下では基本的な一次応答速度は同じです。

ステップ応答を予測する

入口温度のステップ変化

蒸気温度が一定の状態で、入口温度に（\Delta T_i）のステップ変化があった場合、

[ T'(t)

K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

槽内温度は指数関数的に新しい定常値に近づきます。

蒸気温度のステップ変化

入口温度が一定の状態で、蒸気温度に（\Delta T_{st}）のステップ変化があった場合、

[ T'(t)

K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

形式は同一ですが、ゲインはコイル伝熱の相対的な強さによって決定されます。

同時変化

両方の温度が同時に変化する場合、

[ T'(t)

K_i\Delta T_i \left(1-e^{-t/\tau}\right) + K_{st}\Delta T_{st} \left(1-e^{-t/\tau}\right) ]

より一般的な時間変化する入力に対しては、ラプラス領域モデルを直接使用するか、元の微分方程式を数値的に解いてパイロットプラントのセンサデータと比較します。

パラメータをパイロットプラントの測定値と結びつける

伝熱容量を推定する

量（UA）は、蒸気温度の変化がどの程度効率的に槽に伝わるかを制御します。これは次式から推定できます。

[ Q=UA\Delta T_m ]

ここで（\Delta T_m）は適切な平均温度差であり、熱交換器の計算では対数平均温度差がよく用いられます。

測定された（U）の値には、対流、壁面伝導、および汚れ（ファウリング）抵抗が含まれます。

攪拌の影響を評価する

攪拌は混合を改善し、流体側の伝熱係数を向上させます。また、モデルで使用される完全混合の仮定を裏付けます。

混合が不十分だと、槽内の領域によって応答速度が異なるため、測定された応答が単一温度モデルから逸脱する可能性があります。

無次元パラメータを慎重に使用する

比

[ B=\frac{UA}{FC_p} ]

は、コイルの伝熱容量とプロセス流体の熱容量流量を比較します。

（B）が大きいことは、流体のスループット効果に対して蒸気加熱が強力であることを示します。（B）が小さいことは、入口流体が出口温度により大きな影響を与えることを示します。

トレードオフを理解する

一次モデルは近似である

このモデルは（U）、（A）、（F）、（M）、（C_p）が一定であると仮定しています。実際のパイロットプラントでは、これらのパラメータは流量、温度、粘度、ファウリング、攪拌速度によって変化する可能性があります。

したがって、伝達関数は線形化に使用された定常動作点の近くで最も信頼性が高くなります。

蒸気温度は必ずしも熱量と等しくない

モデルは蒸気温度を入力として扱い、次式を使用します。

[ Q=UA(T_{st}-T) ]

これは、蒸気がほぼ一定温度で凝縮し、コイルのダイナミクスが槽のダイナミクスに対して高速である場合に適切です。

蒸気圧力、バルブ開度、ドレン排出、またはコイル壁面温度に有意なダイナミクスがある場合、蒸気温度だけでは加熱入力を十分に表現できない可能性があります。

輸送およびセンサのダイナミクスが重要になる場合がある

理想的な収支式では、入口温度の変化とそれが槽に与える影響の間に明示的な遅延はありません。実際の配管、サンプリング位置、サーモウェル、温度センサは、輸送遅延や追加の時定数を導入する可能性があります。

適合させた伝達関数が実験的なステップ試験データと一致しない場合は、これらの影響を考慮する必要があります。

線形化は有効範囲を制限する

偏差変数モデルは、システムパラメータがほぼ一定に保たれる程度の小さな変化を前提としています。大きな温度変化や流量変化には、非線形エネルギー収支や数値積分が必要になる場合があります。

信頼性の高い検証では、初期条件、長時間後の定常状態、および予測された過渡曲線が測定データと一致するかどうかを確認します。

目的に合わせた選択を行う

解析および制御設計の出発点として、収支から導出されたモデルを使用してください。

主な焦点が入口温度の外乱である場合： （G_i(s)）を使用し、流量対ホールドアップ比（F/M）と入口ステップ応答ゲイン（K_i）を重視します。
主な焦点が蒸気温度制御である場合： （G_{st}(s)）を使用し、（UA/(MC_p)）、伝熱面積、攪拌、および総括係数（U）を重視します。
主な焦点がパイロットプラントの検証である場合： ステップ試験を実施し、ゲインと時定数を推定して、測定された応答を一次予測と比較します。
主な焦点が高忠実度シミュレーションである場合： 非線形エネルギー収支を維持し、一次モデルでは不十分な場合に輸送、コイル、バルブ、センサのダイナミクスを追加します。

伝達関数は、物理的なエネルギー収支のコンパクトな動的帰結であり、測定可能なプロセス変化と槽内温度応答を結びつけるものです。

要約表：

主要要素	結果	実用的な意味
動的モデル	`MCp(dT/dt) = FCp(Ti - T) + UA(Tst - T)`	槽の蓄熱、入口流量、蒸気加熱を記述
入口温度伝達関数	`Gi(s) = (F/M) / [s + F/M + UA/(MCp)]`	入口流体温度変化に対する槽の応答を予測
蒸気温度伝達関数	`Gst(s) = [UA/(MCp)] / [s + F/M + UA/(MCp)]`	加熱蒸気温度変化に対する槽の応答を予測
入口定常ゲイン	`Ki = (F/M) / [F/M + UA/(MCp)]`	入口温度が槽内温度に与える影響を測定
蒸気定常ゲイン	`Kst = [UA/(MCp)] / [F/M + UA/(MCp)]`	蒸気温度の加熱影響を測定
共通時定数	`tau = MCp / (FCp + UA)`	槽が新しい温度に達する速さを示す
主要な検証因子	`U`, `A`, `F`, `M`, `Cp`, 混合, 遅延, センサダイナミクス	モデルがパイロットプラントデータとどの程度一致するかを決定