時間スケールの評価としてシュトローハル数を使用します：加えられた脈動が流体の関連する応答時間に比べて遅い場合、擬定常的な挙動は妥当と考えられます。慣性が支配的なパイロットプラント流れでは、加振周期を対流時間 ( \tau_c=L/U ) と比較します。クリーピング流れでは、粘性拡散時間 ( \tau_v=L^2/\nu ) と比較します。これらの比が十分に小さい場合、流れを擬定常として扱える可能性がありますが、適切な基準は支配的な輸送 რეჟიმに依存します。

流体が運転条件の変化よりもはるかに速く調整される場合、擬定常モデルは正当化されます。慣性流れでは対流時間スケールを、低レイノルズ数流れでは粘性時間スケールを用いてその調整を評価し、平均的な運転条件だけに依存せず、局所的なピークや高調波も確認します。

関連する時間スケールを特定する

加えられた時間スケール

脈動ポンプ、振動攪拌機、または周期的に作動するバルブでは、加えられた時間スケールを次のように定義します。

[ \tau_i \approx \frac{1}{f} ]

ここで (f) は支配的な加振周波数です。波形が正弦波でない場合、高調波はより短い時間スケールを持つため、近似の妥当性を左右する可能性があります。

周期 (T) の周期運転では、(\tau_i=T) を使用すると、(1/f) を使用する場合と同じ物理的比較になりますが、定数倍の違いがあります。

対流時間スケール

対流時間スケールは次のとおりです。

[ \tau_c=\frac{L}{U} ]

ここで (L) は代表流動長さ、(U) は代表速度です。

これは、流体の運動量または濃度の情報が、管径、混合領域、充填部、カラム長など、対象となる装置領域を通過するのに必要な時間を表します。

粘性応答時間

粘性流れまたはクリーピング流れでは、関連する応答時間は粘性拡散時間です。

[ \tau_v=\frac{L^2}{\nu} ]

ここで (\nu) は動粘度です。

これは、粘性効果が代表長さ全体に拡散するのに必要な時間です。小さな隙間や狭い流路ではこの時間は短くなる可能性がありますが、大型容器や高粘度系では相当長くなることがあります。

シュトローハル数を一貫して定義する

時間スケールの定義

擬定常条件を評価するには、時間スケール形式を次のように定義します。

[ Sr=\frac{\tau_i}{\tau_c} =\frac{U}{fL} ]

この定義では、大きな (Sr) は、加えられた変化が対流に比べて遅いことを意味します。

一方、多くの流体力学の文献では、従来のシュトローハル数を次のように定義しています。

[ St=\frac{fL}{U} =\frac{\tau_c}{\tau_i} ]

したがって、

[ St=\frac{1}{Sr} ]

どちらの定義も同じ物理現象を表します。重要なのは、値を「大きい」または「小さい」と解釈する前に、どの定義を使用しているかを明示することです。

代表長さと代表速度

結果は、選択した (L) と (U) に直接依存します。管内流れでは管径が適切な場合がありますが、攪拌槽では、インペラ径、ブレード通過長さ、または混合領域のスケールの方が適切な場合があります。

強く脈動するシステムでは、平均速度に加えて、代表的なピーク速度または周期ごとの速度を使用します。平均値に基づく数値では、慣性が重要になる短い時間帯が見えなくなる可能性があります。

慣性流れを評価する

加振と対流を比較する

慣性が大きく寄与する流れでは、擬定常的な挙動には次の条件が必要です。

[ \tau_i \gg \tau_c ]

また、時間スケールとしてのシュトローハル数の定義を用いると、

[ \frac{1}{Sr}\ll 1 ]

となります。

従来の定義を用いれば、同等の条件は次のとおりです。

[ St\ll 1 ]

この場合、境界条件が変化するよりもはるかに速く、流体は対象となる流動領域を通過するか、その領域全体で調整されます。各時点において、速度場は瞬時流量に対応する定常解で近似できることが多くなります。

結果を物理的に解釈する

(St) が小さい場合、往復動ポンプの流量変化は、流体の観点からは遅いものとなります。圧力場と速度場には、比較的小さな位相遅れで変化する境界条件に追従する時間があります。

(St) が1に近づくか、それを超える場合、局所的な加速度と遅れを伴う運動量輸送を無視できなくなります。完全な過渡モデル、または少なくとも非定常補正が必要になります。

レイノルズ数を考慮する

レイノルズ数は次のとおりです。

[ Re=\frac{UL}{\nu} ]

これは慣性効果と粘性効果のどちらが支配的かを示しますが、それだけで流れが擬定常かどうかを決定するものではありません。高レイノルズ数流れでも、加振が十分に遅ければ擬定常になり得ます。また、低レイノルズ数流れでも、急速に加振されれば非定常になり得ます。

この2つの無次元数は、それぞれ異なる問いに答えます。

• (Re) は慣性と粘性を比較します。
• (St) または (Sr) は、加えられた時間スケールと対流時間スケールを比較します。

クリーピング流れまたは粘性流れを評価する

加振と粘性拡散を比較する

(Re\ll1) の場合、適切な基準は次のとおりです。

[ \tau_i\gg\tau_v ]

時間スケールとしてのシュトローハル数の定義を用いると、

[ \frac{\tau_v}{\tau_i}

\frac{Re}{Sr} \ll1 ]

となります。

これは、加えられた変化に比べて、粘性による運動量拡散が速いことを意味します。

この条件では、非定常ストークス方程式における速度の時間微分項は、粘性項に比べて小さくなります。速度場は、変化する圧力勾配または境界運動にほぼ瞬時に応答します。

局所スケールを使用する

粘性基準は (L^2) に敏感です。狭い隙間の流れに容器スケールの長さを適用すると応答時間を大幅に過大評価する可能性があり、一方、容器全体の循環過程に隙間幅を使用すると過小評価する可能性があります。

パイロットプラントでは、必要に応じて個別の領域を評価します。

• 狭い配管または膜流路。
• 攪拌機の隙間および境界層。
• 多孔質媒体または充填層。
• 大型容器スケールの循環領域。

関連する領域のうち、最も遅い領域が、完全な擬定常近似を許容できるかどうかを左右することがよくあります。

脈動運転に試験を適用する

往復動ポンプ

往復動ポンプでは、支配的な周波数と、1周期にわたる速度変動を計算します。波形が強く非対称な場合は、平均速度とピーク速度の両方を使用して (St=fL/U) を評価します。

小さな (St) は、流れを定常状態の連続として扱えることを支持します。値が大きい場合は、ポンプの加速、流体慣性、配管のコンプライアンス、圧力波の伝播を明示的にモデル化する必要がある可能性を示します。

振動攪拌機

振動攪拌機では、代表周波数は振動周波数またはブレード通過周波数になります。代表長さは、検討対象に応じて、攪拌機径、ブレードのスケール、または局所的な混合領域の寸法になります。

容器は全体循環では擬定常であっても、インペラ、邪魔板、または自由表面の近傍では非定常のままである可能性があります。したがって、単一の全体シュトローハル数がすべての領域を代表すると仮定すべきではありません。

多周波数波形

周期波形には、基本周波数と複数の高調波が含まれることがあります。次の式から、

[ St_n=\frac{n f L}{U} ]

(n) 次高調波のシュトローハル数は、基本波の (n) 倍になります。

動的に意味のある最高次の高調波を確認する必要があります。そうしないと、平均周期に基づけば波形が擬定常に見えても、より急峻な変化は実際には非定常のままになる可能性があります。

基準を測定値に関連付ける

予測された位相遅れと観測値を比較する

擬定常モデルでは、圧力、流量、濃度は、加えられた運転信号とほぼ同位相で応答すると予測されます。

測定された位相遅れ、オーバーシュート、または減衰は、関連する応答時間が無視できないことを示します。これらの観測値は、選択した長さスケールと速度スケールの妥当性を検証する際に特に有用です。

周期ごとの再現性を確認する

再現性のある波形だからといって、流れが自動的に擬定常になるわけではありません。システムは安定した周期解を持ちながら、依然として強い非定常性を示すことがあります。

再現性を利用して周期運転を確認し、その後、(St)、(Re/Sr)、圧力データ、局所速度測定を用いて、各位相を定常状態として近似できるかどうかを判断します。

流体力学と計測機器の影響を分離する

流量計や圧力センサーは、それ自体の応答遅れを生じさせる可能性があります。したがって、測定された位相遅れは、計測機器、流体、またはその両方を反映している可能性があります。

位相比較を用いて擬定常モデルを棄却または受け入れる前に、計測機器の応答を特性評価する必要があります。

トレードオフを理解する

単一のしきい値は普遍的ではない

「はるかに大きい」や「はるかに小さい」といった表現は、普遍的な定数ではなく工学的な基準です。許容限界は、必要な精度、予測対象となる量、過渡効果に対する装置の感度によって異なります。

大まかな擬定常速度推定では、圧力損失、滞留時間、混合、物質移動、または構造荷重の計算よりも大きな非定常寄与を許容できる場合があります。

渦放出のシュトローハル数は目的が異なる

補足的な渦放出の関係式

[ St=\frac{fd}{V} ]

は、障害物周りの周期的な剥離を特徴付けたり、渦放出式流量計を解釈したりするのに有用です。広い亜臨界領域における (0.21) 付近の値は、渦放出挙動や共振リスクの特定に役立ちます。

ただし、このシュトローハル数を、擬定常モデリングにおける加振と対流の基準と混同してはいけません。パイロットプラントでは、渦放出によって追加の周波数が発生し、それを確認する必要がある場合がありますが、その値だけでプロセス全体が擬定常であることが証明されるわけではありません。

構造共振は依然として重要になり得る

流れが擬定常流体モデルにとって十分に遅い場合でも、配管やカラム内部構造物の固有振動数付近で励振する可能性があります。

流体力学的な簡略化と構造安全性は別々に確認する必要があります。振動が懸念される場合は、周期的な加振周波数と渦放出周波数を装置の共振周波数と比較します。

他の過渡メカニズムが支配的になる可能性がある

時間スケール試験は、圧縮性、流体構造連成、ポンプ配管のコンプライアンス、キャビテーション、成分および熱移動の過渡現象に関する確認に取って代わるものではありません。

長い配管や顕著な圧力波の影響を伴う液体系では、(L/U) だけでなく、音響または水力学的な波の時間スケールの方が関連性を持つ場合があります。

目的に応じた適切な選択

まず、(Re)、(St=fL/U)、および局所スケールと周期固有のスケールを用いた関連する応答時間比を計算します。

• 主な関心が全体の速度または圧力予測の場合：慣性流れでは (St\ll1)、クリーピング流れでは (Re/Sr\ll1) のときに擬定常モデルを使用し、位相遅れの測定値と照合して妥当性を検証します。
• 主な関心が混合、滞留時間、または物質移動の場合：容器平均値に依存せず、最も遅い関連輸送時間と、最も高い重要な加振高調波を評価します。
• 主な関心が振動または装置の健全性の場合：加振周波数と渦放出周波数を個別に計算し、流体モデルが擬定常に見える場合でも、構造物の固有振動数と比較します。
• 主な関心が高精度な過渡予測の場合：(St) が小さくない場合、粘性流れで (Re/Sr) が小さくない場合、または測定値が意味のある位相遅れや波形歪みを示す場合は、非定常項を保持します。

流れは、関連する流体の応答時間が、加えられた運転の時間スケールよりも明らかに短い場合にのみ擬定常となります。

まとめ表：

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