制御目的によって、必要な最小限の動的モデルが決定されます。 パイロット攪拌タンクヒーターが液位制御のみを目的として運転される場合、全質量収支で十分であり、液量（または同等に液位 h）が関連する状態変数となります。流出温度も制御する必要がある場合は、モデルにエネルギー収支を含める必要があり、(h) と温度 (T) の両方が必要な状態変数となります。

制御目的に影響を与えうるダイナミクスのみをモデル化してください。 液位制御には質量収支が必要であり、温度制御には質量収支に加えてエネルギー収支が必要です。したがって、目的を追加することは、必要な状態、収支、測定、および操作変数や外乱変数を追加することにつながります。

制御目的から始める

液位制御のみの場合

液位制御の目的において、中心となる疑問は、流入量と流出量の変化がどのように液量（在庫）を変化させるかということです。タンクの断面積 (A) が一定であると仮定すると、モデルは以下のようになります：

[ A\frac{dh}{dt}=F_i-F ]

ここで：

(h) は液位、
(F_i) は流入体積流量、
(F) は流出体積流量です。

ここでは、液位 (h) がタンク内の在庫を決定し、時間とともに動的に変化するため、関連する状態変数となります。

加熱システムは物理的に存在するかもしれませんが、温度が制御対象ではなく、選択された出力を予測するために必要でない場合、制御モデルにおいてその熱的挙動を考慮する必要はありません。

流出温度制御の場合

目的が流出温度またはタンク温度の維持を含む場合、液位だけではプロセス状態を記述できません。モデルは液体内に蓄えられた熱エネルギーも追跡する必要があります。

特性が一定の完全混合タンクの場合、代表的なエネルギー収支は以下の通りです：

[ Ah\frac{dT}{dt}

F_i(T_i-T)+\frac{Q}{\rho c_p} ]

ここで：

(T) はタンクおよび流出温度、
(T_i) は流入温度、
(Q) は供給熱量、
(\rho) は液体の密度、
(c_p) は液体の比熱容量です。

したがって、必要な状態変数は以下の通りです：

[ \mathbf{x}= \begin{bmatrix} h\ T \end{bmatrix} ]

タンク液位は液体の保持量を決定し、温度は蓄えられた熱状態を表します。これらを合わせることで、液位と温度の両方の軌跡を予測するために必要な最小限の状態が定義されます。

目的が状態変数を選択する方法

状態変数は関連する「記憶」を保持しなければならない

状態変数とは、その現在の値が将来の入力とともに将来の挙動を予測するために必要な内部量のことです。攪拌タンクヒーターにおいて、液体在庫と蓄えられた熱エネルギーは、プロセスの記憶の2つの基本的な形態です。

制御問題が在庫のみに関係する場合、温度をモデル化された状態として保持する必要はありません。熱的挙動が重要である場合、温度を省略すると、システムは加熱および冷却の過渡現象を予測する能力を失います。

制御出力が常に独立した状態であるとは限らない

制御変数は直接的な状態であることもあれば、状態から計算される出力であることもあります。完全混合タンクの場合、流出温度は通常、タンク温度と等しくなります：

[ T_{\text{out}}=T ]

したがって、理想的な混合仮定の下では、独立した流出温度の状態は必要ありません。

同様に、液位 (h) は、形状が両者の関係を定義していれば、在庫状態として体積 (V) に置き換えることができます。断面積一定のタンクの場合：

[ V=Ah ]

したがって、(h) と (V) の選択は通常、物理的な複雑さの変化ではなく、モデリング上の便宜の問題です。

各目的を収支式に合わせる

液位目的：全質量収支

液位のダイナミクスは、流入量と流出量の差によって生成されます。操作される流出バルブ、ポンプ、または流入量は (h) に影響を与える可能性があり、流量の変動は外乱として作用します。

最小限のモデルには以下が含まれます：

状態： (h) または (V)、
操作変数： (F) または (F_i)、
外乱： 未測定または変動する流量、
制御出力： 液位。

想定される運転条件下で液位の目的に有意な影響を与えない場合、熱入力 (Q) は除外できます。

温度目的：エネルギー収支

温度制御には、エネルギーの蓄積と輸送の追跡が必要です。最小限のモデルには以下が含まれます：

状態： (h) および (T)、
操作変数： 熱入力 (Q)、
外乱： 流入温度 (T_i)、流入流量 (F_i)、および場合によっては液位の変化、
制御出力： タンクまたは流出温度。

温度応答は、流入エンタルピー、供給熱量、およびタンクの熱保持量のバランスに依存します。

液位と温度の統合制御

液位と温度の両方を制御する場合、質量収支とエネルギー収支は連成します。液位は液体体積に影響を与え、したがって加熱または冷却が必要な液体の量に影響を与えます。

これは、熱入力が一定であっても、液位の変化が温度応答を変化させる可能性があることを意味します。逆に、加熱によって重大な蒸発、密度変化、またはモデルに含まれるその他の運転効果が生じない限り、温度制御が直接液位を変化させることは通常ありません。

必要な詳細レベルでモデルを構築する

最も単純な有効な状態モデルを使用する

設計の基本原則は、最大化ではなくモデルの妥当性です。モデルには制御出力を予測するために必要なすべての状態を含めるべきですが、提示された制御問題に影響を与えない収支を含めるべきではありません。

液位のみの制御において、熱的な状態を追加すると、不要なパラメータ、測定、および数値計算の手間が増えます。温度制御においてエネルギー収支を除外すると、制御変数のダイナミクスを表現できないモデルになります。

2目的ケースの状態方程式

液位と温度を同時に解析するためのコンパクトな動的モデルは、次のように記述できます：

[ \frac{dh}{dt}=\frac{F_i-F}{A} ]

[ \frac{dT}{dt}

\frac{F_i(T_i-T)+Q/(\rho c_p)}{Ah} ]

これらの方程式は、なぜ両方の状態が必要なのかを明確に示しています。液位の微分は流量の不均衡に依存し、温度の微分は流量、流入温度、熱入力、および液体の保持量に依存します。

制御設計のための線形化モデル

コントローラー設計のために、エンジニアは定常運転点からの偏差を記述することがよくあります：

[ h'=h-h_s,\qquad T'=T-T_s,\qquad T_i'=T_i-T_{i,s},\qquad Q'=Q-Q_s ]

適切な仮定の下、固定された運転点の周囲では、熱ダイナミクスは次のような一次形式で表現される場合があります：

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

\frac{1}{\tau}T_i'+KQ' ]

パラメータ (a)、(\tau)、および (K) は、流量、比熱容量、密度、および熱伝達特性に関連する影響を含む、運転点の挙動を要約したものです。

この入出力形式は、ステップ応答、外乱除去、応答時間、およびフィードバックコントローラーのチューニングを研究するのに役立ちます。これは基礎となる収支方程式の簡略化された表現であり、物理的な収支を理解することに代わるものではありません。

測定と操作変数を考慮する

制御変数が測定の必要性を決定する

液位のみの実験には、液位測定と、質量収支モデルをサポートするのに十分な流量測定または推定が必要です。温度制御実験には、特にタンクまたは出口における信頼性の高い温度測定が追加で必要です。

すべての実装において、すべての状態変数を直接測定する必要はありません。しかし、未測定の状態は、選択された目的に対して不要であるか、適切な推定器を使用して再構築される必要があります。

操作変数は選択された出力に影響を与えるべきである

液位制御では、通常、流出流量 (F) または流入流量 (F_i) が操作されます。温度制御では、蒸気供給やその他の加熱媒体を通じて調整される熱伝達率 (Q) が主要な操作変数です。

統合制御システムでは、制御アーキテクチャが相互作用を考慮する必要があります。例えば、液位を変化させると熱保持量が変化し、それが温度応答やコントローラーのチューニングに影響を与える可能性があります。

外乱は重要な場合にモデルに含める

流入温度 (T_i)、流入流量 (F_i)、および関連する場合は流入組成は、制御出力に外乱を与える可能性があります。これらは、目的が外乱解析、コントローラー設計、またはパイロットプラントの予測挙動と測定挙動の比較である場合に含めるべきです。

液位制御のデモンストレーションのみを目的としたモデルには、詳細な熱的外乱は必要ないかもしれません。温度調整を評価するためのモデルには必要です。

トレードオフを理解する

過度に単純なモデルは重要なダイナミクスを省略する可能性がある

温度が安全性、製品品質、エネルギー使用、またはその他の制御要件に影響を与える場合、液位のみのモデルでは不十分です。そのような状況でエネルギー収支を除外すると、数学的には正しく見えるが、実際の熱的挙動を予測できないコントローラーが作成される可能性があります。

正しい問いは、プロセスに熱的ダイナミクスがあるかどうか（実際にはあります）ではなく、それらのダイナミクスが提示されたモデリングおよび制御タスクに関連しているかどうかです。

過度に詳細なモデルは制御問題を不明瞭にする可能性がある

不要なエネルギー、組成、または熱伝達の状態を含めると、パラメータの要件が増え、モデルの検証がより困難になります。また、学生やオペレーターが制御目的と支配的な収支との関係を理解することを妨げる可能性があります。

詳細なモデルは、追加のダイナミクスが研究対象の出力、制約、安全性解析、またはコントローラーの性能に影響を与える場合に正当化されます。

仮定がモデルの妥当性を制限する

コンパクトな方程式は一般に、完全混合タンク、一定の密度と比熱容量、別途含まれない限り無視できる熱損失、および液位と体積の定義された関係を仮定しています。重大な蒸発、特性の変動、むだ時間、センサーのダイナミクス、または熱伝達の制限には、追加の項や状態が必要です。

これらの影響は、物理的に可能だからという理由だけで追加するのではなく、目的や運転範囲がそれらを要求する場合に追加すべきです。

定常状態モデルと過渡モデルは異なる目的を果たす

定常状態では：

[ \frac{dh}{dt}=0,\qquad \frac{dT}{dt}=0 ]

これらの方程式は運転点の関係を決定します。これらは起動、外乱、オーバーシュート、または整定挙動を記述するものではありません。

過渡運転には微分収支が必要です。パイロットプラントの制御トレーニングやコントローラーの検証は、一般的にこれらの動的方程式に依存します。なぜなら、関連する問題はプロセスが運転条件間をどのように移動するかだからです。

パイロットプラントへの適用方法

まず、目標値に保持する必要がある変数をリストアップし、次に、意図した運転条件下でそれらの変数を予測するために必要な状態変数と収支のみを保持します。

主な焦点が液位制御の場合： (h) または (V) を主要な状態として全質量収支を使用し、流入量または流出量を操作します。
主な焦点が流出温度制御の場合： エネルギー収支を追加し、(T) を熱的状態として使用し、熱入力 (Q) を主要な操作変数とします。
主な焦点が液位と温度の同時調整の場合： (h) と (T) の両方を保持し、液体保持量の変化によって引き起こされる相互作用を評価します。
主な焦点が外乱応答やコントローラーのチューニングの場合： まず動的収支を定式化し、次に選択した定常状態の周囲で偏差変数モデルまたは伝達関数モデルを導出します。
主な焦点が安全性や広範囲の運転の場合： 特性の変動、熱損失、蒸発、センサーのダイナミクス、または熱伝達の制限が追加のモデル状態を必要とするかどうかをテストします。

優れたパイロットプラントモデルとは、最も精巧なものではなく、重要なすべての制御目的を忠実に表現する最小のモデルです。

要約表：

制御目的	必要な状態変数	主要な収支	典型的な操作変数
液位制御	液位 `h` または体積 `V`	全質量収支	流入量または流出量
流出温度制御	液位 `h` および温度 `T`	質量収支およびエネルギー収支	熱入力 `Q`
統合制御	液位 `h` および温度 `T`	連成した質量収支およびエネルギー収支	流量および熱入力
外乱またはコントローラー解析	出力に影響を与えるすべての状態	動的、多くの場合線形化された収支	選択された流量または加熱入力
安全性または広範囲の運転	必要に応じた追加の状態	特性変動、熱損失、蒸発、またはセンサーのダイナミクス	用途に依存

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特定の制御目的はどのように状態変数を決定するのでしょうか？適切なパイロットタンクモデルを選択してください。