ニュートン流体は定数粘度の線形応力法則を使用しますが、非ニュートン流体は、応力が変形履歴、ひずみ速度、またはその両方に依存する構成モデルを必要とします。非圧縮性ニュートン流体の場合、粘性応力テンソルは（\boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}=\mu[\nabla\mathbf{v}+(\nabla\mathbf{v})^T]）であり、動粘度（\mu）は一定です。パイロットプラントにおいて、非ニュートン流体は代わりに速度依存性の見かけの粘度、降伏応力関係、または粘弾性応力方程式を使用するため、圧力損失、ポンプ負荷、混合動力、およびスケールアップの予測が変化します。

中心的な違いは応力のクロージャ（閉鎖関係）です： ニュートン流体の粘度は一定で線形の運動量輸送問題を生じますが、非ニュートン流体の構成方程式では、応力が局所的なせん断、材料構造、または変形履歴に依存します。

構成方程式が重要な理由

応力と圧力は異なる影響を表す

全応力は通常、等方性圧力と偏差粘性応力に分けられます。圧力は静水頭や圧力定格に寄与しますが、粘性応力は摩擦、トルク、エネルギー散逸、および変形に関連する力を支配します。

この区別はパイロットプラントにおいて重要です。なぜなら、システム圧力を上げても、必ずしも粘性抵抗が増加するわけではないからです。抵抗は主に速度勾配と流体の構成的挙動に依存します。

応力テンソルが運動量方程式を閉じる

どちらの流体クラスも運動量バランスを使用します

[ \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla P+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}. ]

運動量方程式自体は、非ニュートン流体であっても置き換えられるわけではありません。（\boldsymbol{\tau}）の構成方程式が変化し、その変化によって全体的な流動問題が非線形または履歴依存になります。

ニュートン流体の構成的挙動

一定の粘度が線形関係を生む

非圧縮性ニュートン流体の場合、

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu\boldsymbol{\Gamma}, ]

ここで

[ \boldsymbol{\Gamma}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right]. ]

粘度（\mu）は温度、圧力、または組成に依存する可能性がありますが、特定の状態では局所的なせん断速度には依存しません。

パイロットプラントの計算は比較的直接的

水、希薄な水溶液、軽油、および多くの気体は、多くの場合この関係を使用してモデル化できます。配管内の圧力損失、速度プロファイル、レイノルズ数、およびポンプの要件は、確立されたニュートン流体の相関関係を使用して計算できます。

ニュートン流体の場合、レイノルズ数は通常次のように記述されます

[ Re=\frac{\rho U L}{\mu} ]

（配管流の場合）、または

[ Re=\frac{\rho N D^2}{\mu} ]

（撹拌槽混合の場合）。ここで、（U）と（L）は代表的な流速と長さ、（N）と（D）はインペラの回転速度と直径を表します。

主なエンジニアリング変数は状態条件

構成法則は単純ですが、粘度は温度や濃度によって大きく変化する可能性があります。したがって、パイロットプラントの測定では、異なる状態で測定されたカタログ値ではなく、実際の運転条件に対応する粘度を使用する必要があります。

非ニュートン流体の構成的挙動

見かけの粘度は変形速度に依存する

多くの時間非依存性非ニュートン流体では、応力は一般化ニュートン形式で記述できます：

[ \boldsymbol{\tau}=2\mu_a(\dot{\gamma})\boldsymbol{\Gamma}, ]

ここで（\mu_a）は見かけの粘度、（\dot{\gamma}）は変形速度のスカラー尺度です。

一般的な選択肢は

[ \dot{\gamma}=\sqrt{2\boldsymbol{\Gamma}:\boldsymbol{\Gamma}}. ]

（\mu_a）が（\dot{\gamma}）とともに変化するため、応力はもはやひずみ速度テンソルに線形比例しません。

べき乗則流体はせん断減粘とせん断増粘をモデル化する

べき乗則モデルは多くの場合、次のように表現されます

[ \boldsymbol{\tau}

2m\dot{\gamma}^{,n-1}\boldsymbol{\Gamma}, ]

または同等に、

[ \mu_a=m\dot{\gamma}^{,n-1}. ]

ここで、（m）はコンシステンシー指数、（n）は流動挙動指数です。

(n<1): せん断減粘挙動。せん断速度が増加すると見かけの粘度が低下します。
(n=1): モデル内ではニュートン流体に近い挙動。
(n>1): せん断増粘挙動。せん断速度とともに見かけの粘度が増加します。

発酵ブロス、ポリマー溶液、エマルジョン、および濃縮懸濁液は、パイロットユニットの運転範囲内でこれらの挙動を示すことがあります。

降伏応力流体は閾値モデルを必要とする

一部の材料は、印加された応力が降伏応力（\tau_0）を超えるまで流れないかのように振る舞います。ビンガム塑性関係は次の通りです

[ \boldsymbol{\tau}

2\left(\mu_p+\frac{\tau_0}{\dot{\gamma}}\right)\boldsymbol{\Gamma}, ]

（\tau>\tau_0）のとき。ここで（\mu_p）は塑性粘度です。

降伏応力以下では、理想化されたモデルは変形が無視できる非流動領域を予測します。ハーシェル・バルクレーのようなより高度なモデルは、降伏応力とべき乗則挙動を組み合わせたものです：

[ \tau=\tau_0+m\dot{\gamma}^{,n}. ]

この挙動は、起動圧力、デッドゾーン、排出、懸濁液の安定性、およびポンプや撹拌機がバルク運動を開始する能力に影響を与えます。

粘弾性流体は応力発展方程式を必要とする

一部の非ニュートン流体は、瞬間的な粘度だけでは適切に記述できません。ポリマー溶液、ポリマー溶融体、および特定の生物学的流体は、弾性エネルギーを蓄え、応力緩和、法線応力差、および記憶効果を示す場合があります。

これらの流体には、適切な粘弾性構成モデルなど、応力に対する別の発展方程式が必要です。その場合、応力は現在のひずみ速度だけでなく、材料の変形履歴に依存します。

パイロットプラント運用への影響

ポンプおよび圧力損失の予測

ニュートン流体の場合、圧力損失は主に密度、一定の粘度、流量、形状、および流動状態に関連します。標準的な摩擦係数の相関関係は、その妥当性の範囲内であれば多くの場合十分です。

非ニュートン流体の場合、関連する粘度は局所的なせん断速度とともに変化します。したがって、管壁領域、継手、バルブ、およびポンプ通路では異なる見かけの粘度が発生する可能性があり、圧力損失の予測は速度場全体に依存することになります。

ポンプの選定と起動挙動

せん断減粘性流体は、高せん断速度下では輸送が容易になる場合がありますが、ポンプは起動時や低せん断領域で遭遇する粘度に対処しなければなりません。せん断増粘性流体は、急速に増加する負荷を課し、ポンプを不安定にしたり過負荷にしたりする可能性があります。

降伏応力材料は、十分な起動トルクや圧力を発生できる機器を好むことがよくあります。容積式ポンプは粘性材料の制御された送液に適している場合があり、遠心ポンプは粘度と吸込条件が動作範囲内に留まる場合に有効です。

混合動力とインペラ設計

ニュートン流体の場合、インペラ動力は通常、ニュートンレイノルズ数と動力数を使用して相関付けられます。回転速度、直径、密度、粘度、および動力の関係は比較的標準化されています。

非ニュートン流体の場合、局所的なせん断は槽全体で変化します。エンジニアは、メッツナー・オットー（Metzner-Otto）アプローチのような相関関係を使用して代表的な混合せん断速度を推定し、その速度での見かけの粘度を評価することがよくあります：

[ \dot{\gamma}_{\text{avg}}\approx K_sN. ]

得られた見かけの粘度は、有効混合レイノルズ数に使用できます：

[ Re_{\text{mix}}

\frac{\rho N D^2}{\mu_a}. ]

これは工学的な近似であり、完全な流動解析の普遍的な代替手段ではありません。

スケールアップにはレオロジー的相似性が必要

インペラの回転速度や幾何学的なスケールを合わせるだけでは、同等の混合は保証されません。パイロットシステムと生産システムは、関連するレオロジーモデル、運転温度、濃度、せん断速度範囲、および無次元数を使用して比較する必要があります。

せん断に敏感な生物学的材料の場合、目的には混合強度を最大化することではなく、局所的な応力やエネルギー散逸を制限することも含まれる場合があります。平均的な動力入力を一致させる設計であっても、インペラやバルブ付近に有害な高せん断ゾーンを作り出す可能性があります。

分離と熱伝達も影響を受ける

粘度は、沈降、ろ過、遠心分離、および熱交換器を通る流動分布に影響を与えます。非ニュートン挙動は、停滞領域や混合が不十分な領域を作り出し、滞留時間分布を変化させ、有効な熱伝達性能を低下させる可能性があります。

これらの影響は、凝集、細胞増殖、重合、または固形分負荷などを通じて処理中に流体構造が変化する場合に特に重要になります。

トレードオフの理解

見かけの粘度モデルは有用だが限定的

一般化ニュートンモデルは粘弾性モデルよりも計算が単純であり、定常的な輸送や混合の計算には十分な場合が多いです。しかし、弾性反跳、応力緩和、または法線応力差を表現することはできません。

せん断依存性が強い流体に対して単一の粘度値を使用すると、ポンプ、圧力損失、および混合の予測が誤ったものになる可能性があります。

1つの代表的なせん断速度では局所的な極値が隠れる可能性がある

メッツナー・オットー法や同様の相関関係は、平均的または有効なせん断速度を提供します。これらはスケールアップ計算には有用ですが、撹拌槽内のせん断速度の広い分布を解明するものではありません。

局所的な領域では、選択された平均値よりもはるかに高い、または低いせん断が発生する可能性があります。これは、細胞損傷、凝集、反応速度論、および混合が不十分なままの領域にとって重要です。

レオロジーデータは運転範囲をカバーしなければならない

適合されたべき乗則モデルや降伏応力モデルは、パラメータを取得するために使用されたせん断速度、温度、および組成の範囲内でのみ信頼できます。その範囲を超えて外挿することは、起動、停止、洗浄、および異常状態において特に危険です。

パイロットプラントの測定では、材料構造が進化する場合、時間依存性を考慮する必要があります。チキソトロピーやレオペクシーには、瞬間的なせん断速度依存性だけでなく、時間経過に伴う構造の回復や破壊を含むモデルが必要です。

非ニュートンシミュレーションはモデルと数値の複雑さを増大させる

速度依存性の粘度は非線形の運動量方程式を作成し、降伏面や粘弾性応力は収束と解像度に関する追加の課題をもたらす可能性があります。構成モデルは、適切な境界条件で実装し、測定された圧力損失、トルク、または速度データに対して検証する必要があります。

レオロジーが機器のサイズ、製品品質、生物学的生存率、またはプロセス安全性に実質的に影響を与える場合、より複雑なモデリングが正当化されます。

目的に合わせた正しい選択

適切な構成方程式は、流体の測定されたレオロジーと、問われている運用上の質問の両方を反映している必要があります。

主な焦点がニュートン流体の配管輸送である場合： 一定粘度の応力法則と標準的な圧力損失、レイノルズ数、ポンプの相関関係を使用し、温度と組成に合わせて粘度を補正してください。
主な焦点がせん断減粘またはせん断増粘流動である場合： べき乗則モデルのような一般化ニュートンモデルを使用し、関連する局所的または代表的なせん断速度範囲で見かけの粘度を評価してください。
主な焦点が起動、懸濁液の安定性、または停滞領域である場合： 降伏応力モデルを含め、降伏領域と非降伏領域の両方を評価してください。
主な焦点がポリマー的または強い弾性挙動である場合： 応力履歴、緩和、および法線応力効果を捉える粘弾性構成方程式を使用してください。
主な焦点がパイロットから生産へのスケールアップである場合： インペラの回転速度を合わせるだけでなく、形状、運転条件、レオロジー的挙動、および運動量輸送を支配する無次元数を一致させてください。

正確な構成モデリングは、測定された流体の挙動を、ポンプ、ミキサー、配管、分離装置、およびパイロットプラントのスケールアップに関する信頼できる意思決定に結びつけます。

要約表：

流体の挙動	構成モデル	主要な設計への影響
ニュートン流体	一定粘度の線形応力法則	直接的な圧力損失、レイノルズ数、およびポンプの計算
せん断減粘性	見かけの粘度が低下するべき乗則または一般化ニュートンモデル	高せん断時の抵抗低下、ただし低せん断領域の可能性
せん断増粘性	見かけの粘度が増加するべき乗則モデル	ポンプ負荷の増大と流動不安定性の可能性
降伏応力	ビンガムまたはハーシェル・バルクレーモデル	起動トルク、非降伏領域、デッドゾーン、および懸濁液の安定性
粘弾性	記憶効果を伴う応力発展方程式	応力緩和、法線応力、弾性効果、および複雑なスケールアップ
時間依存性	チキソトロピーまたはレオペクシーモデル	起動、運転、停止中の構造回復または破壊

複雑な流体に対する信頼できるパイロットプラント設計が必要ですか？ LABPARKにお問い合わせください。LABPARKは、化学工学、バイオプロセス、バイオテクノロジー、環境・水処理用途向けの教育および職業訓練用ユニットオペレーションパイロットプラントを提供しています。当社のシステムは、大学、研究機関、企業が現実的な運転条件下で、ポンプ、混合、熱伝達、分離、レオロジー、およびスケールアップの要件を評価するのに役立ちます。当社のチームと協力して、流体の挙動、プロセスの目的、およびトレーニングや研究のニーズに合った機器を選択し、実験の精度、機器のサイズ決定、プロセスの安全性、およびパイロットから生産への意思決定を改善してください。