検査体積解析における運動量保存は、固定または移動する流体領域にかかる力のバランスとして記述されます。 ニュートンの第二法則とレイノルズ輸送定理を用いることで、検査体積内の運動量の蓄積率と、その検査表面を通る正味の対流運動量フラックスの合計は、全外力に等しくなります。全外力は、流体体積全体に作用する物体力と、圧力および粘性応力を介して検査表面全体に作用する表面力に分けられます。

検査体積の運動量方程式は次のとおりです。 [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] 右辺には、物体力による寄与と表面力による寄与が含まれます。

運動量保存の定式化方法

ニュートンの第二法則から始める

物質系の場合、ニュートンの第二法則は、正味の外力が運動量の変化率に等しいと述べています：

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

ここで、(\rho) は流体密度、(\mathbf{v}) は速度ベクトルです。

物質流体要素の場合、同じ関係は微分形式で次のように表せます：

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

ここで (D\mathbf{v}/Dt) は物質加速度、(\mathbf{f}) は単位体積あたりの正味の力です。

レイノルズ輸送定理を適用する

検査体積とは、流体が通過できる空間内の選択された領域です。レイノルズ輸送定理は、体積内に蓄積される運動量とその境界を横切って輸送される運動量の両方を考慮することで、系のバランスを検査体積のバランスに変換します。

固定された検査体積の場合：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

最初の項は、検査体積内の運動量の蓄積を表します。2番目の項は、検査表面を通る正味の対流運動量流束を表します。

対流運動量フラックスを解釈する

ベクトル (\mathbf{n}) は、検査表面に対する外向きの単位法線です。量 (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) は、表面を横切る速度の法線成分を識別します。

検査体積に入る流体は (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0) を持ち、出る流体は (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0) を持ちます。この符号の慣例により、入口と出口の運動量の寄与が自動的に考慮されます。

定常、一次元流れで速度分布が一様な場合、バランスはしばしば次のように簡約化されます：

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

物体力と表面力の違い

物体力は流体体積全体に作用する

物体力は、検査体積全体にわたって流体の質量に直接作用します。これは境界との物理的な接触を必要としません。

一般的な物体力の寄与は次のとおりです：

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

ここで (\mathbf{b}) は単位質量あたりの物体力です。

ほとんどの流体操作単位操作における主な例は重力です：

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

密度が一定で重力場が一様な場合、これは次のようになります：

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

重力は、静水圧計算、垂直配管、タンク、塔、および高低差を伴うシステムにおいて重要です。

表面力は境界全体に作用する

表面力は、検査表面を通じて流体に作用します。これらの力は、隣接する流体、固体壁、ポンプ、バルブ、およびその他の接触面から生じます。

一般的な表現は次のとおりです：

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

ここで (\mathbf{s}(\mathbf{n})) は表面応力ベクトル、(\boldsymbol{\sigma}) は応力テンソルです。

表面力には2つの主要な要素があります：

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

項 (-p\mathbf{I}) は等方性の圧力応力を表します。テンソル (\boldsymbol{\tau}) は、速度勾配によって引き起こされる粘性応力または偏差応力を表します。

圧力は法線方向に作用する

圧力は表面に垂直に作用します。その寄与は次のとおりです：

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

負の符号は外向き法線の慣例に従います：流体に及ぼされる圧力は、周囲の表面に対して内側を向いています。

圧力は、縮径部、ノズル、ベンド、ポンプ、および配管継手を横切る運動量バランスの中心となります。その合力は、推力、反力、または圧力損失の関係を生み出す可能性があります。

粘性力は接線方向に作用する

粘性せん断応力は、主に壁または流体界面に接線方向に作用します。固体壁では、これは境界近くの速度勾配に関連付けられます。

粘性の寄与は次のように表されます：

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

内部流れでは、壁面せん断は摩擦による圧力損失を生み出します。これらの損失は、ポンプ選定、運転動力、および配管ネットワークの水理性能に影響を与えます。

完全な検査体積の力のバランス

運動量輸送項と物体力および表面力を組み合わせると、次のようになります：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

この方程式は、各座標方向に独立して適用されます。例えば、水平管ベンドは通常、(x) 成分と (y) 成分を使用して、必要な支持力または固定力を決定するために解析されます。

定常状態の簡略化

定常状態の条件下では、運動量の蓄積は消えます：

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

この方程式は、検査体積を出る正味の運動量フラックスが、物体力と表面力の合計に等しいことを述べています。

この形式は、定常的な管内流れ、ポンプ場、バルブ、エルボ、および反応器供給システムの解析に特に役立ちます。

一次元の入口と出口の形式

個別の入口と出口の場合、運動量バランスは次のように書けます：

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

質量流量は次のとおりです：

[ \dot{m}=\rho A v, ]

ここで断面積 (A) と速度 (v) の一様な流れの場合です。

この工学的な形式は、入口と出口の速度が既知であるか、連続の式から推定できる場合に便利です。

単位操作においてこの区別が重要な理由

圧力損失と摩擦損失を予測する

配管や機器を通る圧力変化を計算する際には、圧力と壁面せん断力を区別する必要があります。圧力差は駆動力を提供し、粘性せん断は不可逆的な摩擦損失を説明します。

これらの結果は、ポンプ選定とパイロット規模システムの運転限界の評価をサポートします。

機器と配管にかかる力を評価する

運動量フラックスは、その大きさが一定であっても方向を変えることができます。したがって、配管エルボは、流体の運動量ベクトルが変化するため、反力を受けます。

検査体積バランスは流体に作用する力を提供します。等しく反対の力が、継手、サポート、または機器に伝達される荷重を決定します。

高低差と静水圧効果を考慮する

検査体積がかなりの垂直方向の広がりを持つ場合、または流体が静的またはゆっくりと移動している場合、物体力が重要になります。重力はその後、圧力分布と静水ヘッドに寄与します。

垂直塔やタンクでは、物体力の項を省略すると、不正確な圧力または力の予測が生じる可能性があります。

トレードオフを理解する

積分バランスには適切な平均化が必要

検査体積方程式は正確ですが、実際の計算では平均速度、一様な分布、および簡略化された圧力分布を使用することがよくあります。これらの近似は、流れが強く発達している、乱流、はく離、または多相流の場合には不十分なことがあります。

速度分布が一様からほど遠い場合、速度分布補正係数が必要になる場合があります。

圧力とせん断は交換できない

圧力は法線応力ですが、粘性せん断は接線応力です。すべての表面力を圧力として扱うと、不正確な合力が得られ、摩擦損失を過小評価する可能性があります。

逆に、無視できる壁面せん断を含めると、結果を改善することなく不必要な複雑さが加わります。

選択した検査体積が計算に影響を与える

検査表面は、圧力、速度、および流量が既知であるか、確実に推定できる場所に配置する必要があります。適切に選択されていない検査体積は、未知の壁面力や不要な界面を導入する可能性があります。

内部コンポーネントを含む機器の場合、デバイス全体の周りに境界を選択すると、内部の力を正味の外力に置き換えることでバランスを簡素化できます。

運動量解析はエネルギー解析の代わりにはならない

運動量保存は力と運動量の変化を決定しますが、温度変化、熱伝達、または力学的エネルギーの損失をそれ自体で決定するものではありません。熱機器、ポンプ動力、および熱交換器の解析にはエネルギー収支が必要です。

完全な単位操作設計では、質量、運動量、およびエネルギーバランスが一緒に使用されます。

目標に合わせた適切な選択

検査体積を特定し、入口と出口の運動量フラックスを指定し、各物体力と表面力の寄与を評価することにより、検査体積の運動量方程式を使用します。

• 主な焦点が圧力損失の予測である場合： 圧力と壁面せん断の寄与を慎重に含め、適切な速度分布または摩擦係数の相関を使用します。
• 主な焦点がポンプと配管の設計である場合： 定常運動量バランスを適用して、圧力、機器の反力、およびサポート荷重を決定します。
• 主な焦点が垂直または静水圧システムである場合： 物体力の項 (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) を含め、高低差の影響を明示的に説明します。
• 主な焦点がパイロットプラントのスケールアップである場合： 運動量バランスを連続の式とエネルギー収支と組み合わせて、流れの分布、圧力損失、および熱的影響が一貫して評価されるようにします。

適切に選択された検査体積は、流体の運動量保存を、流れの挙動とプロセス機器に作用する力との間の直接的で定量的なリンクに変えます。

要約表：

流体機器の設計またはアップグレードをご検討ですか？ LABPARKにお問い合わせください お客様のニーズに合わせた教育用および職業用の単位操作パイロットプラントを提供しています。当社は、化学工学、バイオプロセスおよびバイオテクノロジー、環境および水処理のためのパイロットプラントで、大学、研究機関、企業をサポートしています。当社のソリューションは、実用的で信頼性の高い実験室およびパイロット規模のシステムを通じて、圧力損失、機器にかかる力、流れの挙動、およびスケールアップ性能を評価するのに役立ちます。