粘性流体の流れにおいて、エネルギー収支は全エネルギーを熱的寄与と機械的寄与に分離することで定式化されます。 全エネルギー方程式は内部エネルギー、運動エネルギー、位置エネルギーを追跡し、熱伝導、および圧力と粘性応力による仕事を考慮します。ここから機械的エネルギー収支を差し引くことで、圧縮や膨張による熱的影響、および粘性散逸を通じた機械的エネルギーから熱への不可逆的な変換が明らかになります。

支配方程式は、全エネルギー収支と機械的エネルギー収支を組み合わせたものです。 粘性流体の場合、内部エネルギー方程式には熱伝導、圧力仕事の影響、および高粘度や高せん断の操作で重要となる粘性散逸項（\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}）を含める必要があります。

全エネルギー収支から始める

流体粒子のエネルギー

単位質量あたりの実質全エネルギーは以下の通りです。

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

ここで、(u) は内部エネルギー、(v^2/2) は運動エネルギー、(gz) は位置エネルギーです。

流体粒子に対する第一法則の収支は次のように書けます。

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

ここで、(\rho) は密度、(\mathbf{q}) は伝導熱流束、(\boldsymbol{\sigma}) は全応力テンソル、(\mathbf{b}) は単位質量あたりの外力、(\dot{q}_v) は体積熱源を表します。

熱伝導

フーリエの法則により、伝導熱流束は次のように定義されます。

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

したがって、エネルギー収支への伝導による寄与は次のようになります。

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

熱伝導率が一定の場合、これは (k\nabla^2T) となります。

静止した固体壁面では、すべりなし条件により壁面での流体速度はゼロになります。その結果、境界を横切る伝熱は壁面垂直方向の伝導熱流束として表されます。

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

壁面の温度勾配は、熱交換器、蒸発器、冷却コイル、反応器ジャケットで使用される局所的な伝熱速度を決定します。

応力仕事

応力テンソルは一般的に次のように分解されます。

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

ここで、(P) は圧力、(\boldsymbol{\tau}) は偏差応力テンソル（または粘性応力テンソル）です。

応力仕事項には、圧力仕事と粘性応力仕事の両方が含まれます。圧力仕事は主に可逆的な機械的エネルギー移動を表すのに対し、粘性応力は不可逆的に熱エネルギーを生成する可能性があるため、この区別は不可欠です。

熱エネルギー収支の導出

内部エネルギー形式

全エネルギー方程式から運動エネルギーと位置エネルギーを分離し、運動量収支を用いると、内部エネルギー方程式は次のようになります。

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

ここで、(\mathbf{v}) は速度場であり、コロンは2つのテンソルの二重縮約を表します。

各項は直接的な物理的意味を持ちます。

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): 流体要素に入る正味の伝導熱。
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): 可逆的な圧力・体積仕事。
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): 機械的エネルギーから内部エネルギーへの不可逆的な粘性変換。
• (\dot{q}_v): 外部から指定された体積発熱。

温度・圧力形式

熱力学的に特徴付けられた流体の場合、内部エネルギーの微分は温度と圧力の項で表現できます。熱収支の有用な形式は以下の通りです。

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

正確な圧力係数は、使用される熱力学的変数と状態方程式に依存します。重要な物理的寄与は、圧力誘起熱効果と粘性散逸です。

(k) が一定の場合、伝導項は次のように書けます。

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

圧縮性と圧力の影響

(DP/Dt) を含む項は、圧縮や膨張に伴う可逆的な加熱または冷却を表します。これは、気体、圧縮性液体、急激な圧力変化、または高圧機器など、密度が著しく変化する場合に最も重要となります。

物性がほぼ一定の非圧縮性液体の場合、この圧力・温度の寄与は熱方程式において無視できることが多いです。ただし、機械的エネルギー収支においては圧力が依然として重要になる場合があります。

粘性散逸の考慮

一般的な粘性加熱項

項

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

は、単位体積あたりに粘性機械的エネルギーが熱に変換される速度です。

これは物理的に許容されるニュートン流体に対しては非負であり、速度勾配によって引き起こされる不可逆的な内部加熱を表します。

ニュートン流体

ニュートン流体の場合、

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

ここで、(\mu) は動粘度、(\lambda) は第二粘性係数です。

したがって、散逸関数は次のようになります。

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

定粘度の非圧縮性流れでは、変形速度テンソル (\mathbf{D}) を用いて一般的に次のように表されます。

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

単位操作における粘性の重要性

低粘度・低せん断の流れでは、粘性加熱は機器壁面を通じた伝熱に比べて小さい場合があります。しかし、ポリマー、重油、高濃度生物学的流体、および激しい混合操作では、主要な内部熱源となる可能性があります。

その結果、機器が外部から冷却されていても流体温度が上昇することがあります。このようなシステムで (\Phi_v) を省略すると、出口温度、伝熱係数、滞留時間予測、冷却負荷要件に誤りが生じる可能性があります。

機械的エネルギー収支の定式化

単位質量あたりの機械的エネルギー

流動流体の機械的エネルギー含有量は、一般的に圧力、運動エネルギー、位置エネルギーの項で表されます。

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

単位操作を通る定常流において、単位質量あたりの実用的な機械的エネルギー収支は次のようになります。

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

ここで、(w_s) は流体に供給される軸仕事、(F) は摩擦やその他の不可逆的影響による単位質量あたりの機械的エネルギー損失です。

整理すると、

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

(w_s) の符号は使用する慣習に依存します。上記の方程式では、正の (w_s) を流体に供給される仕事と定義しています。

微分型機械的収支

微分形式は、応力仕事を速度場に投影することで運動方程式から導出できます。これは、圧力勾配仕事、外力仕事、運動エネルギー変化、軸仕事、および粘性損失を考慮します。

実用的なパイロットプラントの計算では、ポンプや圧縮機の仕事を圧力上昇、速度変化、高さ変化、摩擦損失に直接関連付けられるため、積分形式の方が一般的に有用です。

非圧縮性流れの機械的収支

定密度液体流の場合、一般的に使用される式は以下の通りです。

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

質量流量を掛けると、軸動力要件が得られます。

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

この関係式は、ポンプの選定や、配管、継手、熱交換器、フィルター、ミキサー、その他のモジュールを通る圧力損失の予測をサポートします。

機械的損失と熱生成の関連付け

摩擦は自動的に壁面熱流束になるわけではない

摩擦項 (F) は機械的エネルギーの低下を表します。これは、壁面を伝わる熱として自動的に熱収支に挿入されるべきではありません。

失われた機械的エネルギーの一部は、粘性散逸を通じて局所的に内部エネルギーに変換されます。残りは流体によって輸送され、最終的に機器表面や周囲に伝達される可能性があります。

局所収支と全体収支

微分型熱方程式は局所生成項 (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) を使用します。全体的な機械的収支は積分された損失 (F) を使用します。これらの量は空間積分を通じて関連していますが、流れ場と制御体積を考慮せずに交換することはできません。

この区別により、熱収支と機械的収支の両方を同じ単位操作に適用する際の、摩擦加熱の二重計上を防ぐことができます。

熱と仕事は異なる移動モード

熱は温度差のためにシステム境界を横切ります。仕事は機械的、電気的、圧力、または軸方向の力によって境界を横切ります。

ポンプや攪拌機はプロセスに仕事を提供し、冷却ジャケットは熱を除去します。機械的仕事が最終的に熱エネルギーとして現れる可能性があるという事実は、元の軸仕事の移動を伝熱に変えるものではありません。

トレードオフの理解

非圧縮性の近似

多くの液体の単位操作において、密度、粘度、熱伝導率は一定として扱われます。これにより、熱収支は次のように簡略化されます。

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

この近似は、運転範囲において圧力誘起の密度変化や物性変化が無視できる場合にのみ適切です。

粘性散逸の無視

粘性項を削除すると、方程式は従来の対流・伝導収支に還元されます。これは低粘度流体では妥当な場合が多いですが、狭い通路、高速回転、激しい混合、または強いせん断減粘性材料では危険な場合があります。

関連する比較は粘度そのものではなく、粘性発熱と壁面除熱の間で行うべきです。

定常状態の仮定

定常状態では局所的な蓄積は消滅する可能性がありますが、対流輸送、伝導、圧力効果、粘性散逸、熱交換は依然として重要である可能性があります。

定常状態であることは、熱収支が無視できることを意味しません。それは、温度場が固定された場所で時間とともに変化しなくなったことを意味します。

ベルヌーイ型の簡略化

粘性損失、軸仕事、熱効果、圧縮性が無視できる場合、機械的収支はベルヌーイ型の関係式に還元されます。これは理想的な流れには有用ですが、実際のポンプのサイジングや高粘度機器の分析には一般的に不十分です。

プロジェクトへの適用方法

正しい収支は、目的が温度予測、機器の仕事計算、または両方の影響の評価のいずれであるかによって異なります。

• 主な焦点が温度予測の場合： 伝導、対流、関連する圧力誘起熱効果、粘性散逸、および体積発熱を含む内部エネルギーまたは温度方程式を使用します。
• 主な焦点がポンプまたは圧縮機のサイジングの場合： 圧力変化、運動エネルギー変化、高さ変化、摩擦損失、および軸仕事を含む機械的エネルギー収支を使用します。
• 主な焦点が高粘度または高せん断操作の場合： (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) を保持し、粘性加熱が温度場を実質的に変化させるかどうかを評価します。
• 主な焦点が圧縮性流体または急速加圧流体の場合： (DP/Dt) 熱力学項を保持し、一貫した状態方程式と物性モデルを使用します。
• 主な焦点が全体的な単位操作の負荷の場合： 局所的な熱収支と積分された機械的収支を組み合わせ、摩擦エネルギーの二重計上を避けます。

信頼性の高い定式化は、熱輸送、機械的エネルギー、およびそれらの不可逆的な変換を明示的に接続しつつ、物理的に区別します。

要約表：

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