球状粒子を通過するクリーピング流れでは、全流体力学的抗力はストークスの法則で与えられます。 (F_D = 6\pi \mu R U)。ここで、(\mu)は流体粘度、(R)は粒子半径、(U)は粒子と流体の相対速度です。全力は、球表面全体にわたって流体の表面力を積分することで得られます。圧力による力は3分の1 (F_{D,p}=2\pi\mu R U) であり、粘性せん断力は3分の2 (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U) です。

クリーピング流れでは、球の抗力は粘度、粒子サイズ、および相対速度に対して線形です。慣性は無視できますが、周囲の圧力場は依然として抗力の3分の1を寄与し、表面せん断が残りの3分の2を担います。

クリーピング流れ領域の確立

関係するレイノルズ数

クリーピング流れは、粒子レイノルズ数が1よりはるかに小さい場合に適用されます。

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

ここで、(\rho)は流体密度、(d=2R)は粒子直径です。

このようにレイノルズ数が低い場合、慣性効果は粘性効果と比較して無視できます。流れは主に、圧力勾配と粘性応力の釣り合いによって支配されます。

相対速度の意味

ストークスの法則における速度(U)は、粒子と周囲の流体との相対速度です。静止した粒子が移動する流体中にある場合、(U)は粒子に対する局所的な流体速度です。

沈降する粒子の場合、(U)は流体に対する粒子の速度であり、正味の力がゼロになる終端速度で評価されることがよくあります。

全流体力学的抗力の計算

ストークスの法則

球に作用する全抗力の大きさは次のとおりです。

[ F_D=6\pi\mu R U ]

半径の代わりに直径を使用すると、同等の式は次のようになります。

[ F_D=3\pi\mu d U ]

抗力は、流体中を移動する粒子の相対運動とは反対方向に作用します。

表面力の積分

粒子に作用する力は、表面全体に作用する流体の表面力に由来します。この表面力には2つの成分があります。

[ \text{表面力}= \text{法線方向の圧力表面力} + \text{接線方向の粘性表面力} ]

球面上で両成分を積分すると、次式が得られます。

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

クリーピング流れ中の球では、

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

および

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

したがって、

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

圧力とせん断の相対的な寄与

圧力の寄与

球の周囲の圧力分布によって、次の力が生じます。

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

全抗力に対する割合は、

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

したがって、圧力は全抗力の約33.3%を占めます。

この圧力場は、通常の高レイノルズ数における意味での慣性による形状抗力ではありません。慣性が無視できる場合でも、球の周囲の粘性流れには圧力勾配が必要であり、その圧力分布は運動に逆らう方向の正味の力成分を持ちます。

せん断応力の寄与

粒子表面における接線方向の粘性応力によって、次の力が生じます。

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

全抗力に占める割合は、

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

したがって、粘性せん断は全抗力の約66.7%を占めます。

この大きな寄与は、粒子表面における非滑り条件を反映しています。流体速度は粒子表面の速度から周囲の流れの速度へと急激に変化するため、速度勾配と接線方向の壁面せん断応力が生じます。

3分の1対3分の2の分割

力の内訳は次のようにまとめられます。

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{圧力: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{せん断: }2/3} ]

したがって、圧力抗力とせん断抗力の比は次のようになります。

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

この区別は、圧力センサーによる測定と力の測定が、同じ流体力学的相互作用の異なる部分を反映する可能性があるため、教育用装置において有用です。

単位操作装置への適用

沈降と清澄化

沈降実験では、粒子径、流体粘度、および沈降速度の関係を求めるためにストークスの法則が使用されます。終端沈降速度では、抗力が粒子の有効重量と釣り合います。

[ F_D=F_g-F_b ]

ここで、(F_g)は粒子重量、(F_b)は浮力です。

抗力の計算は、学生が沈降効率、滞留時間、および清澄器や分離塔の性能を分析するのに役立ちます。

差圧測定

パイロット装置では、流路、充填部分、または分離装置の前後の圧力差を測定する場合があります。これらの測定値は、装置全体における流体の運動量および粘性抵抗に関連する圧力の力を表すものであり、必ずしも単独の球に作用する抗力の圧力成分を表すものではありません。

したがって、測定された圧力損失を、ストークスの法則における3分の1の圧力寄与として自動的に解釈すべきではありません。どの力が記録されるかは、測定の幾何学的条件と制御体積によって決まります。

せん断応力の測定

壁面せん断応力は、局所的な速度勾配と次の関係にあります。

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

この関係は、球のせん断寄与を生じさせるものと同じ物理原理を示しています。すなわち、粘性力は表面における速度勾配から生じます。

層流境界層の摩擦関係などの平板相関式は、流路や壁面流れの実験に有用です。ただし、形状と速度場が異なるため、球状粒子の結果に直接置き換えるべきではありません。

トレードオフの理解

ストークスの法則が適用できるレイノルズ数範囲には限界がある

(6\pi\mu R U)の関係は、(Re_p\ll 1)の場合に有効です。レイノルズ数が増加すると慣性が重要になり、抗力はもはや速度に厳密には比例しなくなります。

より高いレイノルズ数では、後流の形成、流れの剥離、および慣性による圧力抗力によって、全抗力と圧力対せん断の分布が大きく変化する可能性があります。

粒子形状が重要である

圧力3分の1、せん断3分の2という分割は、無限に広がるニュートン流体中にある理想的で滑らかな剛体球に適用されます。不規則粒子、繊維、液滴、生物粒子では、異なる抗力係数や応力分布を示す可能性があります。

壁の近く、狭い流路内、または隣接する粒子の間では、周囲の境界が流れを変化させ、抗力を増加させたり、その他の変化を引き起こしたりします。

流体物性は一貫して適用する必要がある

粘度(\mu)は、該当する温度および組成条件で評価する必要があります。非ニュートン流体では、一定粘度を仮定した単純なストークス則の計算では、粒子スケールの応力場を正確に表せない場合があります。

また、連続体力学を適用するには、粒子スケールにおいて流体が十分に連続していなければなりません。希薄流体またはマイクロスケール領域にある非常に小さな粒子では、古典的な結果を超える補正が必要になる場合があります。

圧力とせん断は独立した流体系ではない

圧力とせん断は、積分された力への寄与を特定するために数学的に分離されます。しかし、物理的には、球の周囲に形成される同じ流れ場の結合した構成要素です。

したがって、圧力分布と表面速度勾配は、関連のない装置相関式から独立に推定するのではなく、完全なクリーピング流れ場から導出する必要があります。

プロジェクトへの適用

球状粒子の実験を分析する際は、次の手順を使用してください。

主な目的が粒子の全抗力である場合: 流体粘度、粒子半径、および粒子と流体の相対速度を用いて、(F_D=6\pi\mu R U)を計算します。
主な目的が圧力による力の寄与である場合: (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3)を使用します。これは高レイノルズ数における慣性による形状抗力ではなく、粘性流れにおける圧力の寄与であることに注意してください。
主な目的が表面摩擦の寄与である場合: (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3)を使用します。これは粒子表面全体にわたる接線方向せん断応力の積分を表します。
主な目的がパイロットプラント実験の検証である場合: (Re_p\ll1)を確認し、粒子スケールの抗力と装置スケールの圧力損失を区別するとともに、壁面、隣接粒子、および非ニュートン挙動を考慮します。

クリーピング流れ中の理想的な球について、支配的な結果は明確です。流体力学的抗力の3分の1は圧力による力から生じ、3分の2は粘性せん断応力から生じます。

まとめ表:

主な項目	結果
流れ領域	粒子レイノルズ数が(Re_p \ll 1)であるクリーピング流れ
全抗力	(F_D = 6\pi\mu R U)
圧力の寄与	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U)、または1/3 (33.3%)
せん断の寄与	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U)、または2/3 (66.7%)
寄与の比率	圧力 : せん断 = 1 : 2
主な用途	沈降、清澄化、粒子沈降、および流体力学の教育実験

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