円筒形電気加熱要素における非定常熱伝導は、半径方向の熱伝導方程式、内部ジュール発熱、および表面の対流境界条件によってモデル化されます。 半径 (R)、一定の物性値、均一な電気発熱をもつ長い中実ロッドの場合、無次元温度は、定常半径方向プロファイルと、減衰するベッセル関数モードの無限級数との和で表されます。減衰率は、表面ビオ数に依存する固有値によって決まります。
重要な考え方は、温度を発熱による定常状態と過渡的な補正項に分離することです。円筒対称性により、空間固有関数は (J_0(\lambda_n r)) となり、ロッド表面の対流によって、(\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n)) を通じて固有値が決まります。
円筒形加熱問題の定義
物理的仮定
一般的に使用されるパイロットプラントモデルでは、次の仮定を置きます。
- 加熱要素は長い円筒であり、軸方向および端部の影響は無視できる。
- 電気的な発熱は固体内部で均一である。
- 熱伝導率 (k)、密度 (\rho)、熱容量 (C_p) は一定である。
- 初期温度は一様である。
- 熱は外表面から周囲のプロセス流体へ対流によって放出される。
これらの仮定は、ロッドの長さが半径より十分に大きく、電気的特性および材料特性が温度によって大きく変化しない場合に適用できます。
体積電気発熱
内部発熱率は (q''') と表され、単位は (\mathrm{W/m^3}) です。抵抗加熱要素の場合、電気的条件との関係は次のように表せます。
[ q'''=\sigma E^2 ]
ここで、(\sigma) は電気抵抗率、(E) は電場です。電流、電圧、抵抗、および要素体積を用いた同等の式も記述できます。
支配エネルギー方程式
円筒対称性を仮定すると、非定常熱伝導方程式は次のようになります。
[ \rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}
k\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right]+q''' ]
または、熱拡散率 (\alpha=k/(\rho C_p)) を用いると、
[ \frac{\partial T}{\partial t}
\alpha\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right] +\frac{q'''}{\rho C_p}. ]
半径方向座標は (0\le r\le R) を満たします。
境界条件および初期条件の適用
中心軸上の条件
温度は中心軸上で有限でなければなりません。また、対称性から半径方向の熱流束はゼロとなります。
[ \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0. ]
この条件により、(r=0) で特異となる第二種ベッセル関数 (Y_0) は除外されます。
対流表面条件
外表面では、ロッド内部の熱伝導と周囲流体への対流が釣り合います。
[ -k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}
h,[T(R,t)-T_\infty], ]
ここで、(h) は対流熱伝達係数、(T_\infty) はバルクのプロセス流体温度です。
これは温度と温度勾配の両方を関係付けるため、ロビン境界条件、または混合境界条件と呼ばれます。
初期条件
一様に予熱されたロッド、または初期状態が低温のロッドでは、
[ T(r,0)=T_i. ]
初期条件によって、その後の応答に各過渡固有モードがどの程度寄与するかが決まります。
無次元定式化
無次元変数
無次元半径、時間、温度を次のように定義します。
[ r^*=\frac{r}{R}, \qquad Fo=\frac{\alpha t}{R^2}, \qquad \Theta=\frac{k(T-T_\infty)}{q'''R^2}. ]
フーリエ数 (Fo) は、経過時間を内部熱伝導の代表時間と比較したものです。
表面ビオ数は次のように表されます。
[ \mathrm{Bi}=\frac{hR}{k}. ]
これは外部対流抵抗と内部熱伝導抵抗を比較する指標です。
無次元方程式
支配方程式は次のようになります。
[ \frac{\partial \Theta}{\partial Fo}
\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \Theta}{\partial r^} \right)+1. ]
無次元境界条件は、
[ \left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=0}=0 ]
および
[ -\left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=1}
\mathrm{Bi},\Theta(1,Fo). ]
温度解の構成
定常温度プロファイル
定常状態では、時間微分はゼロです。
[ \frac{1}{r^} \frac{d}{dr^} \left( r^\frac{d\Theta_{ss}}{dr^} \right)+1=0. ]
中心軸上の条件および対流表面条件を適用すると、
[ \Theta_{ss}(r^*)
\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{*2}). ]
第1項は、表面からプロセス流体への対流に伴う温度上昇を表します。第2項は、中心から表面へ熱が伝導することによって生じる半径方向の温度上昇を表します。
過渡補正
全解を次のように表します。
[ \Theta(r^*,Fo)
\Theta_{ss}(r^)+\theta(r^,Fo). ]
過渡補正項は、均一拡散方程式を満たします。
[ \frac{\partial \theta}{\partial Fo}
\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \theta}{\partial r^} \right). ]
変数分離法を用いると、
[ \theta(r^*,Fo)
\sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^*) e^{-\lambda_n^2 Fo}. ]
したがって、完全な温度場は次のようになります。
[ \boxed{ \Theta(r^*,Fo)
\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{2}) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^) e^{-\lambda_n^2 Fo} } ]
ここで、(J_0) は第一種0次ベッセル関数です。
固有値方程式
モード (J_0(\lambda r^*)) に対して対流境界条件を適用すると、
[ \lambda_n J_1(\lambda_n)
\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n), ]
または同値な形として、
[ \lambda_n
\mathrm{Bi}, \frac{J_0(\lambda_n)}{J_1(\lambda_n)}. ]
正の根 (\lambda_n) は数値的に求めます。各根は、1つの半径方向温度モードを定義します。
モード係数
係数は、定常状態からの初期偏差をベッセル関数基底に展開することで求められます。
[ A_n
\frac{ \displaystyle \int_0^1 r^* \left[\Theta(r^,0)-\Theta_{ss}(r^)\right] J_0(\lambda_n r^),dr^ }{ \displaystyle \int_0^1 r^J_0^2(\lambda_n r^),dr^* }. ]
重み係数 (r^*) は、円筒形状および固有関数の直交関係により必要となります。
パイロットプラントにおけるモデルの解釈
加熱時間の予測
最小固有値 (\lambda_1) に対応する最も遅いモードが、通常、長時間後の応答を支配します。
[ \theta\sim A_1J_0(\lambda_1r^*)e^{-\lambda_1^2Fo}. ]
これにより、エンジニアは完全な級数計算を行う前に、要素が定常温度に近づくまでに必要な時間を見積もることができます。
表面温度および中心温度の推定
このモデルにより、任意の半径方向位置における温度を求められます。特に、
- 中心軸上の温度は (r^*=0) とすることで得られます。このとき (J_0(0)=1) です。
- 表面温度は (r^*=1) とすることで得られます。
- 熱はロッドを通って外向きに伝導する必要があるため、最大温度は一般に中心で生じます。
これらの予測は、ヒーターをプロセス流体に浸漬する場合、壁に埋め込む場合、またはジャケット付きもしくは管状の単位操作へ熱を供給する場合に重要です。
モデルと流体流動との関係
ビオ数は対流係数 (h) に依存します。パイロットプラントでは、(h) は流体速度、撹拌、粘度、流動状態によって変化する可能性があります。
これらの影響は、通常、レイノルズ数およびヌセルト数を含む相関式によって表されます。したがって、プロセス流体の速度を変えると、(\mathrm{Bi})、固有値、表面温度、および全体的な加熱時間が変化します。
集中容量近似の評価
次の場合、
[ \mathrm{Bi}<0.1, ]
内部温度勾配は十分小さいことが多く、ロッドを一様温度であると近似できます。内部熱伝導抵抗が大きく、中心温度と表面温度に顕著な差が生じる場合には、完全なベッセル級数解が必要になります。
実設備へのモデルの拡張
有限長の加熱要素
長い円筒モデルでは、端部からの熱損失を無視しています。短い要素では、温度は (r) と軸方向座標 (z) の両方に依存するため、2次元または3次元の定式化が必要です。
この場合、解には半径方向のベッセル関数と軸方向固有関数の連成が含まれます。
温度依存性をもつ物性値
電気抵抗率、熱伝導率、熱容量は温度によって変化する場合があります。その場合、(q''')、(k)、(\alpha) はもはや一定ではなく、解析的な級数解を数値的な時間積分に置き換える必要が生じることがあります。
複合断熱材および壁システム
加熱要素が断熱材、金属シース、またはプロセス容器壁に囲まれている場合、各層にそれぞれの熱伝導方程式が必要です。各界面では、モデルは次の条件を満たす必要があります。
[ T_1=T_2 ]
および
[ -k_1\frac{\partial T_1}{\partial r}
-k_2\frac{\partial T_2}{\partial r}. ]
これらの条件により、複合構造全体で温度と熱流束の連続性が確保されます。
プロセス流体との連成
一定の (T_\infty) を境界条件とする仮定は、周囲流体が十分に混合されている場合、または大きな熱リザーバーとして振る舞う場合に適しています。流体温度が大きく変化する場合、ヒーターモデルは、質量、熱容量、流量、伝熱面積、および総括伝熱係数を含む流体エネルギーバランスと連成する必要があります。
トレードオフの理解
解析解と数値モデル
ベッセル級数解は高速で透明性が高く、設計計算や教育実験に有用です。一方、形状、物性値、発熱率、または境界条件が時間や位置によって変化する場合には、扱いにくくなります。
差分法、有限体積法、有限要素法は、これらの複雑な条件をより自然に扱えますが、数値離散化と検証が必要です。
均一発熱と不均一発熱
上記の解析プロファイルは、均一な体積発熱を仮定しています。不均一な電気負荷、温度依存性をもつ抵抗率、または局所的な加熱によって熱源項が変化し、その結果、定常プロファイルと過渡応答の両方が変化します。
一定の対流係数と変化する流動条件
一定の (h) を使用すると計算は簡単になりますが、パイロットプラントの流動条件は運転中に変化する可能性があります。撹拌速度、流体粘度、相変化、汚れによって (h) が変化するため、測定値または相関式に基づく値を運転範囲に対して確認する必要があります。
中心温度と平均温度
中心温度は安全性または材料品質に関わる重要な変数であることが多いものの、体積平均温度と同じではありません。プロセスのエネルギーバランスでは固体の平均温度が必要となる場合がありますが、材料の限界は最も高温となる中心軸上の温度に依存することがあります。
目的に適した選択
適切なモデルは、必要な精度、利用可能な測定値、運転条件によって異なります。
- 主な目的がヒーターの応答時間の推定である場合： 無次元フーリエ数およびビオ数と、最初の数個のベッセルモードを使用し、集中容量近似が有効かどうかを確認します。
- 主な目的が最も高温となる点の予測である場合： 最大温度は一般に (r=0) で生じるため、中心軸上で完全な半径方向解を評価します。
- 主な目的が対流性能の決定である場合： 測定値または相関式に基づく (h) の値を使用して (\mathrm{Bi}) を計算し、予測された表面温度および加熱速度をパイロットプラントのデータと比較します。
- 主な目的が短い要素、断熱要素、または複合要素のモデル化である場合： 界面における温度および熱流束の整合条件を備えた、多次元または多層の数値モデルを使用します。
- 主な目的がプロセス制御である場合： 周囲流体温度を一定として扱うのではなく、円筒熱伝導モデルを流体または容器のエネルギーバランスと連成します。
したがって、円筒形電気ヒーターは、内部ジュール発熱、半径方向の熱伝導、表面からの対流熱損失、およびベッセル関数による過渡モードを組み合わせることでモデル化され、パイロットプラントの運転全体にわたる温度履歴を予測できます。
概要表：
| モデル要素 | 目的 | 主要な関係式 |
|---|---|---|
| 内部発熱 | 抵抗による電気加熱を表す | (q'''=\sigma E^2) |
| 半径方向熱伝導方程式 | 円筒内部の非定常温度を記述する | (\rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla_r^2T+q''') |
| 表面対流 | プロセス流体への熱伝達をモデル化する | (-k\frac{\partial T}{\partial r}=h(T-T_\infty)) |
| フーリエ数 | 内部熱拡散の進行度を測定する | (Fo=\alpha t/R^2) |
| ビオ数 | 内部温度勾配の重要性を示す | (Bi=hR/k) |
| ベッセル固有関数 | 円筒の過渡温度モードを表す | (J_0(\lambda_n r^*)) |
| 固有値方程式 | モードの減衰率を決定する | (\lambda_nJ_1(\lambda_n)=BiJ_0(\lambda_n)) |
| 集中容量近似の確認 | 一様温度モデルが適切かどうかを判定する | 一般に (Bi<0.1) の場合に有効 |
| 拡張数値モデル | 有限長、複合層、変化する物性値、または変動する流体条件を扱う | 差分法、有限体積法、または有限要素法を使用する |
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