装置の形状と境界条件によって定義される固有値問題から基底関数を選択します。 矩形のパイロットプラント領域には、通常デカルト座標の積として表される正弦関数および余弦関数の固有関数を使用します。円筒形の領域には、半径方向にはベッセル関数を、角度方向にはフーリエ正弦関数または余弦関数を、軸方向には適切な三角関数を使用します。物理的な境界条件の斉次形を満たす関数こそが正しい関数であり、それらが展開係数を計算するための直交基底を形成します。

形状が固有関数の族を決定し、境界条件が許容される固有値と、正弦関数・余弦関数・ベッセル関数の具体的な組み合わせを決定します。形状と境界条件の両方に適合する基底関数は、独立した直交モードを生成し、拡散や伝導のモデルを大幅に解きやすくします。

空間固有値問題から始める

座標系ごとに支配方程式を分離する

非定常伝導および拡散モデルは、変数の分離後、一般的に次のような空間固有値問題に帰着します。

[ \mathcal{L}_x\Phi=-\lambda^2\Phi, ]

ここで、(\mathcal{L}_x) は熱伝導または物質移動演算子の空間部分です。

適切な基底関数とは、パイロットプラントの境界条件の下でのこの演算子の固有関数です。これらは、数学的に便利であるという理由だけで選択されるものではありません。

基底を斉次境界条件に一致させる

境界条件は、温度や濃度の値を規定したり、そのフラックスを規定したり、あるいはフラックスと表面値の関係を規定したりする場合があります。

これらは概ね以下に対応します：

ディリクレ条件： (\Phi=0)、定常成分を除去した後の固定値を表します。
ノイマン条件： (\Phi'=0)、断熱またはゼロフラックスの境界を表します。
ロビン条件： (\Phi'+A\Phi=0)、対流または界面移動を表します。

非斉次条件の場合、場は多くの場合、定常解（またはリフティング解）と非定常な残余項に分解されます。その際、残余項の斉次境界条件を満たすように固有関数が選択されます。

矩形形状のための関数の選択

デカルト座標方向に正弦関数および余弦関数の固有関数を使用する

一次元の矩形領域において、空間方程式は次の形式をとります。

[ \frac{d^2\Phi}{dx^2}=-\lambda^2\Phi, ]

一般解は

[ \Phi(x)=a\sin(\lambda x)+b\cos(\lambda x). ]

境界条件によって、どの組み合わせが許容されるか、またどの離散的な (\lambda) の値が両方の境界を満たすかが決定されます。

多次元の矩形装置には積を使用する

矩形スラブ、チャネル、触媒セクション、または平板コンポーネントの場合、分離されたモードは通常次の形式をとります。

[ \Phi_{mn}(x,y)=X_m(x)Y_n(y), ]

または三次元の場合、

[ \Phi_{mnp}(x,y,z)=X_m(x)Y_n(y)Z_p(z). ]

各因子は、対応する一対の表面の境界条件から独立して選択されます。一次元の因子が直交するため、完全なモードも直交します。

境界条件を適用して正弦関数または余弦関数モードを選択する

(x=0) で値がゼロとなる境界は余弦項を排除し、正弦関数モードを生成します。(x=0) でゼロフラックスとなる境界は正弦項を排除し、余弦関数モードを生成します。

例えば、区間 (0\leq x\leq L) において：

(\Phi(0)=\Phi(L)=0) は、(\sin(n\pi x/L)) のような正弦関数モードを導きます。
(\Phi'(0)=\Phi'(L)=0) は、定数（固有値ゼロ）モードを含む (\cos(n\pi x/L)) のような余弦関数モードを導きます。
一方の端で固定条件、もう一方の端でゼロフラックス条件の場合、(\pi/L) の半整数倍を含むような、シフトされた固有値シーケンスが生成されます。
対流境界は、単純な整数倍ではなく、特性方程式によって決定されるロビン固有値を生成します。

正確な固有値は、装置の寸法と境界パラメータに依存します。

円筒形状のための関数の選択

半径方向の変動にはベッセル関数を使用する

円筒座標系では、拡散または伝導演算子の半径方向部分に (1/r) という因子が含まれます。そのため、半径方向の固有値方程式はデカルト座標系の方程式とは異なり、ベッセル関数を導きます。

軸対称問題では、半径方向の解は通常以下に基づきます。

[ J_0(\lambda r), ]

ここで (J_0) は第1種ゼロ次ベッセル関数です。領域や境界条件によっては、他の組み合わせや次数が必要になる場合があります。

軸を含む固体円筒では、(r=0) で有限ではないため、通常、特異なベッセル解 (Y_\nu(\lambda r)) は除外されます。対照的に、環状領域では、領域が軸を含まないため、(J_\nu) と (Y_\nu) の線形結合が必要になる場合があります。

プロセスが軸対称でない場合は角度フーリエ関数を追加する

温度や濃度が角度座標によって変化する場合、角度固有関数は

[ \cos(m\theta) \quad\text{および}\quad \sin(m\theta), ]

となり、(m) は整数の方位モード数です。

完全な軸対称の管型反応器、シェル、またはカラムモデルでは、(m=0) モードのみが保持されるため、角度依存性は消滅します。非軸対称な加熱、壁面条件、または供給分布がある場合は、より高次の角度モードが必要となります。

円筒軸に沿って三角関数を使用する

有限円筒または管型パイロットユニットの場合、軸座標は一般に正弦関数および余弦関数の固有関数を生成し、入口、出口、端壁、または対称条件に従って選択されます。

したがって、分離された円筒モードは次の構造を持つことができます。

[ \Phi_{mnp}(r,\theta,z)

R_{mn}(r), \Theta_m(\theta), Z_p(z), ]

ここで (R_{mn}) はベッセル関数ベースの半径方向関数、(\Theta_m) は正弦関数または余弦関数の角度関数、(Z_p) は軸方向の三角関数です。

境界条件に固有値を決定させる

ディリクレ条件は固有関数のゼロ点を選択する

円筒壁面に所定の温度や濃度がある場合、半径方向の固有関数は、均質化された後、その壁面でゼロになる必要があります。

(\Phi(R)=0) である固体円筒の場合、半径方向の固有値は関連するベッセル関数のゼロ点に関連付けられます。これは、2つの固定値境界を持つ矩形領域から得られる正弦関数固有値の円筒版です。

ノイマン条件は導関数のゼロ点を選択する

断熱された円筒壁面では、半径方向の導関数がゼロである必要があります：

[ \left.\frac{d\Phi}{dr}\right|_{r=R}=0. ]

この場合、許容される固有値は、関数そのもののゼロ点ではなく、ベッセル関数の導関数のゼロ点によって決定されます。

同じ原理が矩形形状にも適用され、ゼロフラックス条件が余弦関数型モードや導関数ベースの特性方程式を選択します。

ロビン条件は超越特性方程式を作成する

対流壁面条件は次の形式をとります。

[ -k\left.\frac{d\Phi}{dr}\right|_{r=R}

h\Phi(R), ]

または同等の無次元形式です。円筒において、ベッセル半径方向解を代入すると、ベッセル関数とその導関数の両方を含む特性方程式が生成されます。

これらの固有値は通常、数値的に計算する必要があります。これは予想されることであり、解析的な展開を無効にするものではありません。

直交性を正しく維持する

適切な内積を使用する

矩形固有関数は、通常、標準的なデカルト内積の下で直交します。

[ \langle f,g\rangle

\int f(x)g(x),dx. ]

多次元の矩形領域では、内積は全容積にわたって拡張されます。

円筒形の半径方向関数は、半径方向の重み (r) を伴って直交します：

[ \langle f,g\rangle_r

\int_0^R r,f(r)g(r),dr. ]

この重みは、円筒形の体積要素 (r,dr,d\theta,dz) に由来するため不可欠です。

係数を計算する前にモードを正規化する

固有関数を特定した後、次のように正規化します。

[ \langle \Phi_i,\Phi_j\rangle=\delta_{ij}, ]

ここで (\delta_{ij}) はクロネッカーのデルタです。

初期温度、濃度、または強制分布 (u) に対する展開係数は、スカラー射影から得られます。

[ c_i=\langle u,\Phi_i\rangle. ]

円筒モデルの場合、この射影には正しい半径方向の重みを含め、必要に応じて角度および軸方向の位置にわたる積分を含める必要があります。

物理的に許容される場合はゼロモードを含める

純粋なノイマン問題には、(\lambda=0) の定数固有関数が含まれる場合があります。このモードは、境界を通る正味の熱や物質のフラックスがない場合の空間平均の保存を表します。

これを除外すると、特に断熱された固体や閉鎖された拡散系において、誤った長時間解が生成される可能性があります。

トレードオフを理解する

矩形基底は実装がより単純

正弦関数および余弦関数の基底は、標準的な矩形境界条件に対して単純な固有値と正規化公式を持ちます。これらは多くの場合、平板、スラブ、矩形ダクト、およびデカルト計算領域にとって最も効率的な選択肢です。

異なる境界で異なるロビンパラメータを使用する場合や、材料特性が空間的に変化する場合、その単純さは低下します。

円筒基底は物理的に正確だがより複雑

ベッセル関数は、円筒装置の半径方向の広がりと変化する断面積を正確に表現します。これらをデカルト座標の正弦関数に置き換えると、特に軸付近や半径方向の勾配が支配的な場合に、半径方向の解が歪む可能性があります。

追加の複雑さは、ベッセル特性方程式を解き、半径方向の重み付けを適用し、(r=0) での正則性を処理する必要がある点にあります。

不一致な関数は境界誤差と係数誤差を生む

必要な斉次境界条件を満たさない基底は、部分積分後に不要な境界項を残します。その結果、変換された拡散または伝導方程式には、未解決の項や不正確な強制寄与が含まれることになります。

これは単なる優雅さの欠如ではありません。表面フラックス、非定常減衰率、および長時間平衡の予測値を変えてしまう可能性があります。

理想的な固有関数法にはモデリングの限界がある

標準的な正弦関数、余弦関数、ベッセル関数の構築は、適切な特性を持つ線形演算子を前提としており、多くの場合、一定または十分に正則な材料特性を想定しています。特性が激しく変化する場合、形状が不規則な場合、非線形伝達係数や複雑な内部源がある場合は、有限体積法、有限要素法、または数値スペクトル法などの数値的手法が必要になることがあります。

形状に基づいた基底選択は、そのような場合でも有用ですが、完全な厳密解というよりは、ベンチマーク、縮約モデル、または局所的に適切な近似として機能する可能性があります。

これをパイロットプラントに適用する方法

まず境界条件を均質化し、装置に適合する座標系で空間演算子を記述することから始めます。

主な対象が矩形スラブ、チャネル、または平板ユニットの場合： 正弦関数および余弦関数の固有関数を使用し、座標間で積を取り、各因子が対応するディリクレ、ノイマン、またはロビン境界を満たすように選択します。
主な対象が固体円筒または管型ユニットの場合： 半径方向モードにはベッセル関数を使用し、軸での特異な半径方向解を除外し、それらを軸方向の正弦関数または余弦関数と組み合わせます。
主な対象が環状またはシェル側領域の場合： 領域が軸を含まない場所で、正則および特異なベッセル関数分岐の両方を許容し、両方の半径方向壁面条件を課して、それらの組み合わせと固有値を決定します。
主な対象が軸対称モデルの場合： ゼロ次角度モードのみを保持し、直交性を課したり係数を計算したりする際には半径方向の重み (r) を使用します。
主な対象が対流壁面伝達の場合： ロビン条件から特性方程式を形成し、標準的なフーリエシーケンスを強制するのではなく、固有値を数値的に計算します。
主な対象が断熱装置内の保存則の場合： ゼロ固有値を明示的に確認し、境界条件が許容する場合は定数モードを含めます。

パイロットプラントの形状と境界条件の両方に適合する基底を選択することで、輸送モデルは有効かつ効率的なモード表現へと変わります。

要約表：

パイロットプラントの形状	推奨される基底関数	主な考慮事項
矩形スラブ、チャネル、または平板	座標の積として組み合わせた正弦関数および余弦関数	ディリクレ、ノイマン、またはロビン境界に従って各因子を選択する。
固体円筒または管型ユニット	半径方向にベッセル関数、軸方向に正弦関数または余弦関数	軸での特異なベッセル解を除外し、正しい半径方向固有値を適用する。
環状またはシェル側領域	第1種および第2種ベッセル関数の組み合わせ	領域が軸を含まないため、両方の半径方向分岐が必要になる場合がある。
軸対称装置	ゼロ次角度フーリエモード	直交性と係数計算のために半径方向の重み `r` を使用する。
対流壁面	数値計算されたロビン固有値を持つ形状固有の固有関数	フラックスと値の関係を適用して特性方程式を形成する。
断熱装置	余弦関数または導関数ベースのモード（適用可能な場合は定数モードを含む）	空間平均の保存を維持するためにゼロ固有値を保持する。

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