基本的な支配方程式は、非圧縮性流体の連続の式とナビエ–ストークス運動量方程式です。 密度（\rho）および動粘度（\mu）が一定の、等温・非圧縮性ニュートン流体について、これらは次のように表されます。

[ \nabla \cdot \mathbf{v}=0 ]

および

[ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right)

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

これらの方程式を、適切な装置形状、入口、出口、壁面、初期条件のもとで解くことにより、3つの速度成分と圧力場が決定されます。

重要なポイント： パイロットプラント設備内の等温・非圧縮性ニュートン流れは、主に質量保存と運動量保存によってモデル化されます。エネルギー、物質種、反応、または多相流の方程式は、単位操作にこれら2つの方程式だけでは表現できない影響が含まれる場合にのみ追加されます。

支配方程式の構成

質量保存：連続の式

一般的な質量保存方程式は次のとおりです。

[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0. ]

密度が一定の非圧縮性流体では、

[ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{v}=0} ]

となります。この条件は、流体要素が移動中に膨張も収縮もしないことを示します。直交座標系では、

[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} =0, ]

ここで、(u)、(v)、(w) はそれぞれ (x)、(y)、(z) 方向の速度成分です。

運動量保存：ナビエ–ストークス方程式

線形運動量収支は次のように表されます。

[ \boxed{ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g} } ]

ここで、物質微分は次のとおりです。

[ \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}. ]

したがって、運動量方程式は以下の収支を表します。

流体の加速度： (\rho D\mathbf{v}/Dt)
圧力による力： (-\nabla p)
粘性力： (\mu\nabla^2\mathbf{v})
体積力： (\rho\mathbf{g})、通常は重力

移流項 ((\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}) は、曲がり部、縮小部、拡大部、混合機、および速度が空間的に変化するその他の領域で重要になります。

直交座標系における成分表示

速度 (\mathbf{v}=(u,v,w)) に対して、運動量方程式は次のようになります。

[ \rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\nabla^2u+\rho g_x, ]

[ \rho\left( \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\nabla^2v+\rho g_y, ]

[ \rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\nabla^2w+\rho g_z. ]

これら3つの方程式を連続の式と組み合わせることで、4つの主要場である (u)、(v)、(w)、(p) に対する4つの方程式が得られます。

ニュートン流体の挙動が重要な理由

ニュートンの粘性法則

ニュートン流体では、粘性応力は変形速度に対して線形に変化します。テンソル形式では、

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D}, ]

非圧縮性流れの場合、ここで

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

は変形速度テンソルです。

粘度が一定で非圧縮性流れの場合、粘性応力の発散は次のように簡略化されます。

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}

\mu\nabla^2\mathbf{v}. ]

この簡略化により、標準的なナビエ–ストークス方程式における粘性項が得られます。

物理的解釈

粘性項は運動量の拡散を表します。これは、静止した管壁と管中央を移動する流体の間など、速度勾配によって生じる運動量の移動を考慮します。

モデルを閉じるために必要な条件

壁面のすべりなし条件

静止した固体壁面では、

[ \mathbf{v}=0. ]

となります。この条件は、配管、チャネル、熱交換器、充填設備における壁面せん断応力、圧力損失、速度分布の予測に不可欠です。

移動する壁面では、壁面における流体速度は壁の速度と等しくなります。

入口条件

入口では、速度分布

[ \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\text{in}}, ]

または質量流量

[ \dot{m}

\int_A \rho,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n},dA. ]

を指定できます。

簡略化した研究では一様な入口速度分布がよく用いられますが、詳細なパイロットプラント解析には、発達した速度分布または実測された速度分布の方が適しています。

出口条件

一般的な出口条件には、既知の圧力

[ p=p_{\text{out}}, ]

や、下流の流れが十分に発達している場合に適した流出条件があります。選択した出口条件は、予測される圧力場と再循環に大きな影響を及ぼす可能性があります。

初期条件

非定常運転では、開始時の速度場を定義する必要があります。

[ \mathbf{v}(\mathbf{x},0)=\mathbf{v}_0(\mathbf{x}). ]

また、非圧縮性流体の圧力は一般に任意の定数分だけ不定であるため、圧力の基準も必要です。

パイロットプラントの各モジュールでよく用いられる簡略化

定常流

運転条件が時間によって大きく変化しない場合、

[ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}=0. ]

となります。運動量方程式は次のようになります。

[ \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

この近似は、定常状態の配管、チャネル、熱交換器の解析で一般的に使用されます。

十分に発達した内部流れ

直線的なチャネルまたは管内で十分に発達した流れの場合、速度分布は軸方向に変化しません。このとき、支配方程式は圧力勾配と粘性抵抗の釣り合いに簡略化できます。

例えば、平行平板間の一次元流れでは、

[ 0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}. ]

圧力勾配が一定の場合、得られる速度分布は放物線状になります。

慣性の無視

レイノルズ数が十分に小さい場合、慣性効果は粘性効果に比べて小さくなります。運動量方程式はストークス流れの形式に簡略化されます。

[ 0=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

この近似は、高粘度流体、狭いチャネル、低流量のマイクロモジュールまたは実験室用モジュールに有用です。

重力と静水圧

速度が無視できる場合、運動量方程式は次のようになります。

[ \nabla p=\rho\mathbf{g}. ]

これは静水圧の変化を表します。流動系では、垂直配管、充填塔、タンク、自然対流に関連する構成において、重力が重要な場合があります。

単位操作への方程式の適用

配管ネットワークとポンプ

これらの方程式は、配管全体の速度分布と圧力勾配を記述します。その後、積分形式または簡略化した形式を用いて圧力損失を推定し、ポンプに必要な仕様を決定します。

パイロットプラントでは、完全な場の方程式を計算機上で解く場合がある一方、単純な配管部分は、これらの収支から導かれた摩擦係数相関式で表現されることが多くあります。

熱交換器

厳密に等温の流体流動モデルでは、連続の式と運動量方程式によって、速度分布、壁面せん断、圧力損失などの流体力学的挙動が決定されます。

温度変化または熱交換量を対象とする場合は、エネルギー方程式も追加する必要があります。一般的な流体レベルの収支は、

[ Q=\dot{m}C_p\Delta T, ]

であり、熱交換器の性能は次の式で関連付けられることが多くあります。

[ Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}F. ]

これらは追加の熱的関係式であり、流動方程式に置き換わるものではありません。

反応器と混合装置

撹拌槽および流通反応器では、ナビエ–ストークス方程式によって、循環、再循環、混合に関連する速度場を予測します。

反応、物質種の輸送、滞留時間の挙動を扱うには、追加の保存方程式が必要です。流体流動方程式だけでは、転化率や濃度を予測できません。

充填層と塔

充填設備では、詳細なモデリングに細孔スケールのナビエ–ストークス方程式を使用できますが、エンジニアリングスケールのモデルでは、一般にこれらを多孔質媒体の圧力損失関係式に置き換えます。

基本原理は質量保存と運動量保存であり、充填物は追加の抵抗項によって表現されます。

二流体または多相流モジュール

混ざり合わない2種類の流体では、各相について固有の保存方程式と界面条件が必要です。液液界面では、一般的な条件として次のようなものがあります。

[ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2 ]

これは接線方向速度の連続性を表し、

[ \boldsymbol{\tau}_1\cdot\mathbf{n}

\boldsymbol{\tau}_2\cdot\mathbf{n} ]

は、界面効果を適切に扱う場合の粘性応力の連続性を表します。

したがって、相境界、相間の運動量移動、または相変化が重要な場合、単一流体の非圧縮性方程式だけでは不十分です。

トレードオフの理解

等温であっても、エネルギーが常に無関係とは限らない

等温モデルは、温度が一定である、または熱的効果が流動解に影響しないことを仮定します。温度分布、熱伝達係数、熱交換量を与えるものではありません。

熱交換器、加熱反応器、または粘度が大きく変化する系では、初期の流動解析に等温近似を用いる場合でも、エネルギー方程式が必要になることがあります。

非圧縮性近似には適用範囲がある

液体は密度変化が小さいため、非圧縮性としてモデル化されることが多くあります。気体も、速度が音速を十分下回り、圧力による密度変化が無視できる場合には、非圧縮性として扱うことができます。

高速気体流、大きな圧力変化、大きな温度変化、または圧縮性に起因する効果を含む系では、この近似を再検討する必要があります。

粘度一定は不適切な近似となる場合がある

標準的な方程式は、(\mu) が一定であると仮定しています。これは、多くの液体について、温度およびせん断速度の範囲が大きくない場合には妥当ですが、温度依存性が強い流体や非ニュートン材料には適していません。

粘度が空間的に変化する場合、粘性項は単純に (\mu\nabla^2\mathbf{v}) と書くのではなく、一般に応力の発散形式で保持する必要があります。

ナビエ–ストークス方程式に層流の仮定は必要ない

ナビエ–ストークス方程式は、層流か乱流かにかかわらず、ニュートン流体の流れに適用できます。ただし、乱流スケールを直接解像するには計算負荷が大きいため、パイロットスケールの設備では、乱流モデルまたは実験的に検証された相関式が必要になることが多くあります。

「粘性散逸」はエネルギー収支に含まれる

粘性応力は運動量方程式に直接影響します。粘性散逸によって発生する熱はエネルギー方程式に現れ、厳密に等温の定式化では省略されます。

この区別により、粘性散逸を運動量方程式の追加項として扱うという、よくある誤りを防ぐことができます。

目的に応じた適切な選択

適切な支配モデルは、パイロットプラント解析で何を予測する必要があるかによって決まります。

主な関心が速度分布と圧力損失である場合： 運転条件に適した密度と粘度を用い、非圧縮性の連続の式とナビエ–ストークス運動量方程式を使用します。
主な関心が熱伝達性能である場合： エネルギー方程式を追加し、流動解を用いて対流、圧力損失、熱伝達挙動を決定します。
主な関心が反応器の転化率または物質種分布である場合： 流体力学方程式に物質種収支または反応収支を追加します。
主な関心が液液または気液操作である場合： 相ごとの保存方程式を使用し、界面速度、応力、物質移動の条件を含めます。
主な関心が迅速な設備スケール設計である場合： 適用限界を認識したうえで、摩擦係数、多孔質媒体、滞留時間などの検証済み簡略モデルを使用します。

仮定を明確に示し、境界条件を正しく設定すれば、これらの保存方程式はパイロットプラントにおける流体流動挙動を解析するための信頼性の高い基盤となります。

まとめ表：

モデル要素	支配関係式	主な目的
質量保存	∇ · v = 0	非圧縮性流れの連続性を保証する
運動量保存	ρ(∂v/∂t + v · ∇v) = −∇p + μ∇²v + ρg	速度、圧力、粘性、体積力の影響を予測する
ニュートン粘性	τ = 2μD	粘性応力と変形速度を関連付ける
境界条件	入口、出口、壁面、初期条件	数学モデルを閉じる
追加の物理現象	エネルギー、物質種、反応、または多相流の方程式	熱伝達、反応、複数相を扱うためにモデルを拡張する

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