チャネル内を流れる2つの非混和液層の定常・十分発達した流れでは、支配方程式は各相について1つの運動量方程式に帰着し、壁面条件と液液界面条件によって連成されます。非圧縮性ニュートン流体では、質量保存により速度場は発散ゼロでなければならず、運動量保存はナビエ・ストークス方程式で記述されます。一般的な平行平板近似では、各相の軸方向速度はチャネルの横断方向に対して二次関数となり、積分定数は壁面でのすべりなし条件、および界面での速度とせん断応力の連続条件によって決定されます。

速度分布は、各相における圧力勾配によって駆動される運動量収支によって決まります。粘度差は各相に固有の運動量方程式を通じて速度分布に影響し、界面条件は液体間の運動と応力伝達が物理的に整合するようにします。

解くべき方程式

各相における連続の式

密度一定の非圧縮性相では、連続の式は次のようになります。

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

ここで、(\mathbf{v}^{(i)}) は相 (i) の速度場です。

定常・十分発達した一方向チャネル流れでは、

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

となり、軸方向速度は横断方向にのみ変化するため、連続の式は自動的に満たされます。

運動量保存

各相に対する一般的な非圧縮性ニュートン流体の運動量方程式は、次のようになります。

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

ここで、(\rho_i)、(\mu_i)、および (P^{(i)}) は、それぞれ相 (i) の密度、動粘度ではなく粘性係数、および圧力です。

この方程式には、非定常加速度と対流加速度、重力、圧力力、および粘性による運動量拡散が含まれます。

十分発達した軸方向流れ

流れが定常かつ十分発達しており、主に軸方向の圧力勾配によって駆動される場合、軸方向の運動量方程式は次のようになります。

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

または、同値な形として、

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

各液層について得られます。

その結果得られる速度分布は、

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

となります。ここで、(a_i) と (b_i) は境界条件および界面条件によって決まる積分定数です。

固体壁面における境界条件

すべりなし条件

静止した固体壁面では、流体の接線方向速度は壁面速度と等しくなります。基準配置における二層構造では、

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

および

[ v_x^{(2)}(-H_2)=0 ]

となります。ここで、相1は界面と上壁の間の領域を占め、相2は下壁と界面の間の領域を占めます。

これらの条件により、積分定数を決定するために必要な4つの方程式のうち2つが与えられます。

浸透なし条件

浸透を許さない静止壁面では、法線方向速度はゼロです。

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

この条件により、いずれの液体もチャネル壁を通過できなくなります。理想化された一方向解では、壁面法線方向の速度成分が存在しないことによって、すでに表現されています。

移動壁または多孔質壁

壁が移動する場合、接線方向の条件はゼロではなく、

[ \mathbf{v}t=\mathbf{V}{w,t} ]

となります。多孔質壁または反応性壁では、流体や化学種が境界を通過する可能性があるため、別途、法線方向の流束条件が必要です。

液液界面における条件

界面の運動学的条件

(y=0) に位置する静止界面では、法線方向速度は界面位置と整合していなければなりません。不透過で非反応性の界面では、

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

となります。

平行かつ十分発達した配置では、両方の法線方向速度がゼロです。

界面が移動または変形する場合は、その速度は対応する運動学的条件を満たさなければなりません。この場合、界面位置も未知の解の一部となります。

接線方向速度の連続性

界面すべりのない2種類の通常の非混和性ニュートン液体では、

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

となります。

この条件により、液層同士が共通の境界で同じ接線方向速度を持つことが保証されます。

これは、積分定数を決定するために必要な3つ目の関係式を与えます。

接線方向応力の連続性

界面に表面張力勾配による接線方向応力がない場合、粘性せん断応力は連続です。

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

これは粘度が異なる場合に不可欠です。せん断応力が釣り合うように、速度勾配は一般に界面を挟んで変化します。

これは、2つの二次速度分布に含まれる4つの積分定数に対する4つ目の関係式を与えます。

法線方向応力と表面張力

完全な二相モデルでは、界面における法線応力条件も必要です。一般形は、

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

です。適切な符号規約を用いるものとし、ここで (\boldsymbol{\tau}) は全応力テンソル、(\gamma) は界面張力、(\kappa) は界面曲率です。

平坦で静止した界面において界面張力が一定であれば、曲率はゼロとなり、法線応力条件は法線応力の一致に帰着します。この条件は、界面が変形する場合、チャネルが平面形状でない場合、または毛管力が相分布を支配する場合に特に重要になります。

マランゴニ効果

界面張力が温度または組成によって変化する場合、接線方向応力は単純には連続しません。その不連続は表面張力勾配によって釣り合わされます。

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

ここで、(\nabla_s) は表面勾配を表します。

等温で界面組成が均一な液体では、通常この項は無視されます。

チャネル入口および出口における条件

入口流量の指定

パイロットプラントのモデルでは、入口速度分布、各相の流量、または総体積流量を指定することが一般的です。十分発達した入口流れは、

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

として指定するか、各相の流量を用いて、

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

と指定できます。

入口条件は、相分布および界面位置と整合していなければなりません。

圧力勾配の指定

長く十分発達したチャネルでは、圧力勾配を制御入力とする場合があります。

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

多くの並流チャネル構成では、軸方向圧力勾配は両相に共通ですが、粘度と層厚が異なるため、得られる速度分布は異なります。

出口条件

出口では、圧力、発達流条件、または適切な対流流出条件を指定できます。選択は、パイロットプラントを圧力駆動、流量制御、または下流設備に接続されたものとしてモデル化するかどうかによって異なります。

出口条件によって、発達途中の界面や速度場に人工的な制約を課さないようにする必要があります。

粘度差が重要な理由

速度分布の曲率の違い

各速度分布の曲率は、次の量に比例します。

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

同じ圧力勾配であれば、粘度の低い相は粘度の高い相よりも大きな速度曲率を発達させます。

応力収支が勾配の変化を支配する

界面で接線方向速度は連続ですが、速度勾配は必ずしも連続ではありません。応力条件により、

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

が要求されます。

したがって、粘度比は層間での運動量分配を変化させます。

単位操作への影響

得られる速度場は、滞留時間分布、界面更新、圧力損失、相ホールドアップ、物質移動面積、および分離性能に影響します。

これらの影響は、液液抽出モジュール、層状流反応器、膜接触装置、その他のチャネル型パイロット設備で重要です。

トレードオフの理解

十分発達流の仮定

二次関数解が有効なのは、入口効果が無視できるようになった後に限られます。入口、分配器、曲がり部、縮小部、相分離装置の近傍では、軸方向の発達や二次流れを扱うために、完全な多次元方程式が必要になる場合があります。

平坦界面の仮定

(y=0) に固定された界面では、界面の変形や毛管現象の発展が除外されます。流量が大きい場合、チャネル寸法が小さい場合、界面張力が低い場合、または相の物性によって大きな圧力差が生じる場合には、この仮定は不十分となる可能性があります。

層流の仮定

この簡略化された常微分方程式は粘性による十分発達した流れを記述するもので、層流条件において最も直接的に適用できます。チャネルが遷移流または乱流領域に入る場合は、追加の閉鎖関係および乱流モデルが必要になることがあります。

レイノルズ数は、関連するチャネル形状に対して、例えば水力平均直径

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

のような適切な水力寸法に基づいて算出する必要があります。

界面すべりなしの仮定

速度の連続性は、界面すべりが無視できることを前提としています。特殊な系では、界面活性剤、汚染、界面レオロジー、またはマイクロスケール効果によって界面条件が変化し、界面構成モデルが必要になる場合があります。

物性一定の仮定

基準となる方程式は、粘度と密度が一定であることを仮定しています。大きな温度勾配または組成勾配が存在する場合、(\mu_i) と (\rho_i) は変数となり、運動量収支はエネルギー収支および化学種収支と連成します。

目的に応じた適切な選択

二相チャネル型パイロットプラントを表現する際には、次のモデル選択原則を使用してください。

主な目的が十分発達した圧力駆動流れである場合：壁面ではすべりなし条件を、界面では接線方向速度の連続条件および接線方向応力の連続条件を適用し、各相に固有の簡略化された運動量方程式を解きます。
主な目的が界面位置または相ホールドアップである場合：表面張力と曲率を含む運動学的界面条件および法線応力収支を追加します。
主な目的が入口、分配器、または旋回領域の挙動である場合：完全な非定常または定常多次元ナビエ・ストークス方程式を保持し、物理的に整合した入口、出口、壁面、および界面条件を課します。
主な目的が物質移動または反応である場合：流れの方程式を化学種保存式と連成し、入口、壁面、および液液界面に濃度条件またはフラックス条件を課します。
主な目的がスケールアップおよび圧力損失の予測である場合：適切な水力直径、レイノルズ数領域、壁面粗さ、相流量、および物性の変化を含めます。

信頼性の高い二相パイロットプラントモデルは、微分方程式だけでなく、実際の設備の運転方法を正確に表す境界条件および界面条件によって定義されます。

まとめ表：

モデル要素	支配的要件	目的
連続の式	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	各相における非圧縮性の質量保存を保証する
運動量	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	圧力、重力、慣性、および粘性の影響を記述する
十分発達した流れ	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	各層に二次関数状の速度分布を生じさせる
固体壁面	すべりなし条件および浸透なし条件	静止壁、移動壁、または多孔質壁における流体運動を定義する
液液界面	法線方向速度の整合性および接線方向速度の連続性	物理的に整合した相境界を維持する
せん断応力	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	界面を横切る運動量移動の釣り合いを保つ
法線応力	応力ジャンプと `γκ` の釣り合い	界面が変形する際の曲率と表面張力を考慮する
マランゴニ効果	接線方向応力ジャンプと `∇ₛγ` の釣り合い	温度または組成による表面張力勾配を表現する
入口および出口	指定された流量、速度、圧力、または発達流条件	モデルを実際のパイロットプラント運転に適合させる
拡張モデル	エネルギー、化学種、乱流、および物性変化の方程式	物質移動、反応、スケールアップ、および非理想的な運転条件に対応する

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