応力ベクトルは表面に作用する表面力であり、応力テンソルはそれを生じさせる局所的な応力状態全体を含みます。 外向き単位法線 n を持つ表面では、応力ベクトル s(n) は、応力テンソル σ をその法線に作用させることで得られます：

[ \mathbf{s}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} ]

これと同値に、一部の流体力学の文献で用いられる行ベクトルの規約では、同じ関係を (\mathbf{s}(\mathbf{n})=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}) と表します。物理的な内容は同一であり、テンソルが表面の向きを、その表面に作用する単位面積当たりの力へ写像することを意味します。

応力テンソルは応力の完全な局所的記述であり、応力ベクトルは、そのテンソルが法線 (\mathbf{n}) を持つ表面に作用したときに生じる特定の表面力です。

応力ベクトルが表すもの

単位面積当たりの力

応力ベクトル (\mathbf{s}(\mathbf{n})) は、流体内部に仮想的に設定した表面を通じて作用する単位面積当たりの力を表します。

その方向と大きさは、単位法線 (\mathbf{n}) で指定される表面の向きに依存します。

表面の向きが重要

流体中の同じ点であっても、向きの異なる表面には異なる応力ベクトルが作用する場合があります。

ある座標方向に垂直な表面では、別の向きを持つ表面とは異なる垂直力と接線力の組み合わせが作用する可能性があります。

応力テンソルに含まれるもの

完全な局所応力状態

応力テンソル (\boldsymbol{\sigma}) は、ある点における座標方向に対応する垂直応力成分とせん断応力成分を格納します。

したがって、その点を通過するあらゆる表面上の表面力を決定するのに十分な情報を含んでいます。

向きから表面力への写像

テンソルは、表面法線 (\mathbf{n}) から対応する応力ベクトルへの線形写像を行います。

一般的な列ベクトル規約を用いた添字表記では、

[ s_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}n_j ]

ここで (s_i) は表面力ベクトルの (i) 成分、(\sigma_{ij}) は対応する応力テンソル成分です。

コーシーの四面体が重要な理由

局所平衡によって関係が確立される

この関係は、力学的平衡状態にある無限小の四面体流体要素を解析することで導かれます。

向きの異なる面に作用する力は、つり合わなければなりません。四面体が一点へ収縮するにつれて、座標軸に沿った面に作用する表面力によって、任意の向きを持つ面に作用する力が決定されます。

1つのテンソルが多数の測定に置き換わる

この結果は、考えられるすべての表面の向きについて個別に応力を測定する必要がないことを意味します。

ある点で (\boldsymbol{\sigma}) が既知であれば、任意に選択した (\mathbf{n}) に対する (\mathbf{s}(\mathbf{n})) を計算できます。

垂直応力とせん断応力の分離

垂直応力

表面に垂直な応力ベクトル成分が垂直応力です：

[ s_{\mathrm{normal}}=\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n} ]

この成分は表面に対して垂直に作用します。

接線応力

残りの成分は表面内に作用し、せん断表面力を表します：

[ \mathbf{s}_{\mathrm{shear}}

\mathbf{s}(\mathbf{n})

\left[\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n}\right]\mathbf{n} ]

この区別は、壁面摩擦、境界層、および浸漬機器に作用する流体力を評価する際に重要です。

流体輸送システムへの適用

容器壁および内部充填物

容器壁または充填物表面では、局所的な表面法線によって、流体の応力テンソルが生じさせる表面力が決まります。

得られた応力ベクトルを用いて、圧力に相当する垂直荷重と接線方向のせん断荷重の両方を評価できます。

境界層と壁面せん断

固体境界付近では、(\mathbf{s}(\mathbf{n})) の接線成分が壁面せん断表面力を与えます。

これは、抗力、エネルギー損失、浸食、および表面力の計算に直接関係します。

機械的荷重

表面上で応力ベクトルを積分すると、流体が作用させる総力が得られます：

[ \mathbf{F}=\int_A \mathbf{s}(\mathbf{n}),dA ]

したがって、テンソルからベクトルへの関係は、容器壁、配管、インペラ、および内部機器に作用する荷重を計算するための局所的な入力となります。

トレードオフを理解する

応力テンソルのデータは正確でなければならない

応力ベクトルの信頼性は、それを計算するために使用される応力テンソルの信頼性に左右されます。

数値流体力学では、数値解像度、乱流モデル、および壁面近傍の取り扱いが、予測されるせん断応力や表面荷重に大きな影響を与える可能性があります。

テンソルの規約は一貫していなければならない

文献によっては写像を (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}) と表記し、別の文献では (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}) と表記します。

これらの形式は、異なるベクトルおよびテンソル添字の規約を反映しているため、方程式やソフトウェアの出力を組み合わせる前に、成分の定義を確認する必要があります。

局所応力は機器全体の荷重とは異なる

応力ベクトルは、表面上のある点における単位面積当たりの力を表します。

容器または充填物全体にかかる荷重を求めるには、関連する表面全体でそのベクトルを積分する必要があります。また、モーメントを求めるには、各表面点の位置も考慮する必要があります。

目的に応じた適切な選択

まず応力テンソルを出発点とし、次に表面法線を選択して、工学的な問いに関連する力の成分を取り出します。

• 主な関心が表面荷重の場合： 局所的な応力テンソルから (\mathbf{s}(\mathbf{n})) を計算し、壁面または機器表面全体で積分します。
• 主な関心が壁面摩擦の場合： (\mathbf{s}(\mathbf{n})) を表面上に射影して、接線方向のせん断表面力を分離します。
• 主な関心が圧力または圧縮の場合： (\mathbf{s}(\mathbf{n})) を (\mathbf{n}) に射影して、垂直応力を求めます。
• 主な関心が方程式やソフトウェアの比較の場合： 実装が (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}) を使用しているのか、同値な行ベクトル形式 (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}) を使用しているのかを確認します。

ある点における応力テンソルが分かれば、その点を通るあらゆる表面の向きに対する応力ベクトルが得られます。

まとめ表：

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