粘性応力テンソルが対称であると仮定されるのは、通常の流体は独立した微視的なトルクを及ぼさないためです。 したがって、微小な流体要素における角運動量保存則により、互いに垂直な面にかかるせん断応力は等しくなければなりません（例：\tau_{xy}=\tau_{yx}）。これにより、2階の応力テンソルの9つの成分が6つの独立した量に減らされ、ほとんどの単位操作パイロットプラントで使用される従来の流体に対して有効となります。

標準的な連続体流体において、応力の対称性は単なる数学的な便宜ではなく、角運動量保存の結果です。 この仮定は、流体が内部構造を含んでいる場合や、通常の表面応力とは独立してトルクを及ぼす分布物体力が作用している場合には成立しなくなることがあります。

なぜ応力の対称性が用いられるのか

応力テンソルは表面力を表す

コーシーの応力テンソルは、流体内部の仮想的な面を横切って作用する力を記述します。その対角成分は垂直応力であり、非対角成分はせん断応力です。

3次元において、テンソルは当初9つの成分を含みます：

[ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}. ]

例えば、成分(\sigma_{xy})と(\sigma_{yx})は、2つの垂直な面の向きに関連する応力を記述します。これらは単に同じ2つの座標方向を使用しているという理由だけで自動的に等しくなるわけではありません。

角運動量が制約を課す

微小な長方形の流体要素を考えます。もし(\tau_{xy})と(\tau_{yx})が等しくなければ、それらの力は第3の座標軸周りに正味のトルクを生じさせます。

独立した物体トルクを持たない従来の流体要素では、角運動量が保存されなければなりません。その回転バランスは次を要求します：

[ \tau_{xy}=\tau_{yx}, \qquad \tau_{xz}=\tau_{zx}, \qquad \tau_{yz}=\tau_{zy}. ]

同じ結論が全応力テンソルにも適用されます。圧力の寄与は等方的であるため、

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}, ]

であり、(-p\mathbf{I})はすでに数学的に対称であるため、全応力が対称であるときは常に粘性応力テンソル(\boldsymbol{\tau})も対称となります。

微小要素による議論

トルクの原因となる表面力は、要素が縮小しても重要性が残るような形で要素のサイズとともにスケールします。対照的に、要素の慣性モーメントはその特性長の5乗でスケールし、体積は3乗でスケールします。

要素のサイズがゼロに近づくにつれ、回転慣性の寄与は、せん断応力の不均衡によって生成されるトルクに対して無視できるようになります。したがって、有限の応力の不均衡は、極限の流体要素において不均衡なトルクを意味することになるため、非対角成分はバランスしなければなりません。

この議論は、応力と加速度が有限であり、材料内部に別の微視的なトルクが作用していないことを前提としています。

パイロットプラント解析における重要性

構成方程式が単純化される

等方的なニュートン流体の場合、粘性応力は変形速度と次のように関連付けられます。

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I}, ]

ここで

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

は対称な変形速度テンソルです。

(\mathbf{D})は対称であるため、ニュートン流体の粘性応力も同様に対称です。非圧縮性流体の場合、(\nabla\cdot\mathbf{v}=0)となり、せん断応力と垂直応力は主に動粘度(\mu)によって制御されます。

標準的な単位操作は仮定を満たす

この仮定は、以下を含む一般的なパイロットプラントの作動流体に対して適切です：

空気およびその他の通常の気体
水および従来のニュートン液体
多くのポリマー溶液
連続体流体として扱われる典型的な懸濁液およびスラリー
配管流、熱交換器、混合、およびカラム流実験における流体

これらの条件下では、通常の運動量方程式が圧力損失、壁面せん断、速度プロファイル、混合応力、およびプロセス機器を通る流れを正しく記述します。

対称応力はゼロ回転とは異なる

粘性応力テンソルが対称であることは、流体要素が回転できないことを意味するわけではありません。速度勾配は、対称な変形速度部分と反対称な剛体回転部分に分解できます：

[ \nabla\mathbf{v}

\mathbf{D} + \mathbf{W}, ]

ここで(\mathbf{D})は変形を記述し、(\mathbf{W})は局所的な回転を記述します。

速度勾配の反対称部分は渦度や剛体回転を表します。それ自体が反対称な粘性応力ではありません。

仮定が崩れる場合

物体力（ボディカップル）を持つ流体

流体が分布物体トルク（ボディカップルと呼ばれることもある）を受ける場合、応力の対称性は崩れる可能性があります。その場合、角運動量は通常の表面応力と、流体体積全体に作用する独立したトルクの両方によってバランスされます。

その際、角運動量バランスは次を許容します：

[ \sigma_{ij}\ne\sigma_{ji}. ]

完全なモデルには、追加のカップル応力項や、一部の理論では流体の微細構造の回転に対する個別のバランス方程式が必要になる場合があります。

ポーラ流体およびマイクロポーラ流体

ポーラ流体やマイクロポーラ流体には、バルクの速度場とは独立して回転できる内部構成要素が含まれています。例として、非対称粒子を含む懸濁液、構造化されたマイクロ流体、またはコッセラ型連続体理論を用いてモデル化された材料などが挙げられます。

これらの流体では、局所的な要素が固有の回転自由度を持つことができます。その場合、古典的なニュートン構成関係では不十分であり、応力の反対称部分はゼロに強制されるのではなく、物理的な情報を持つ可能性があります。

磁性流体と外部から印加される場

磁性流体には、印加された磁場と相互作用できる磁性粒子が含まれています。磁気トルクは粒子を回転させ、流体に角運動量を伝達します。

磁気的効果をボディカップルとして扱うモデルでは、機械的応力テンソルは対称である必要はありません。正確な定式化は、磁気的寄与を流体応力に含めるか、物体力およびボディカップル項として表現するか、あるいはより広範な電磁気的応力バランスに組み込むかによって異なります。

電磁気的およびその他の連続体効果

外部場は連続体スケールで力やトルクを生み出す可能性があります。同様の考慮事項は、一部の導電性流体、液晶、能動的な粒子回転を伴う懸濁液、およびその他の構造化された材料において生じます。

重要な問題は、単に流体が非ニュートン流体であるということではありません。多くの非ニュートン流体も対称なコーシー応力テンソルを持っています。仮定が崩れるのは、材料モデルに独立した角運動量、カップル応力、または物体トルクが含まれる場合です。

トレードオフの理解

仮定は効率的だが条件付きである

対称な応力テンソルを使用することで、独立した応力成分の数が9つから6つに減ります。これにより、構成方程式、境界条件、数値実装、およびパイロットスケールの測定値の解釈が大幅に簡素化されます。

この単純化は、通常の流体においては、内部の分子回転が機器スケールで個別に解決可能なトルクを生み出さないため正当化されます。

非ニュートン挙動は自動的に対称性を無効にしない

粘弾性、せん断減粘、せん断増粘、および降伏応力挙動は、応力と変形の関係を変化させますが、必ずしも応力テンソルを非対称にするわけではありません。

非対称な応力には、内部粒子の回転や印加されたボディカップルのような、より具体的な物理的メカニズムが必要です。

連続体の妥当性は別の要件である

応力の対称性は、局所的な応力場と速度場が意味を持つ連続体記述を前提としています。その記述は、クヌーセン数が

[ \mathrm{Kn}=\frac{\ell_0}{\ell}, ]

（ここで(\ell_0)は分子の平均自由行程、(\ell)は機器の特性長）十分に小さい場合に信頼できます。

非常に小さなスケールや希薄気体では、連続体方程式自体が不十分になる可能性があります。それは連続体モデルの破綻であり、連続体力学における角運動量対称性の破綻とは別物です。

電磁気的な計算上の混乱

電磁的な力やトルクが個別に表現されている場合、機械的応力テンソルは非対称に見えることがあります。物理的に関連する全角運動量バランスは、すべての場、物体力、ボディカップル、および表面応力の寄与が含まれていれば、依然として整合性を保つことができます。

したがって、見かけ上の非対称性は、選択された応力の定義とバランス法則の定式化の範囲内で解釈されなければなりません。

パイロットプラント解析への適用方法

ほとんどの単位操作の計算において、対称な粘性応力の仮定が正しい出発点となります：

主な焦点が従来の配管流や圧力損失にある場合： 対称なニュートン流体モデル、または流体と運転条件に合わせて選択された適切な一般化ニュートン応力モデルを使用してください。
主な焦点が通常の液体を用いた熱交換や混合にある場合： 粘性応力を対称として扱い、粘性散逸がエネルギーバランスに影響を与えるほど大きいかどうかを個別に評価してください。
主な焦点がポリマー溶液、スラリー、その他の非ニュートン流体にある場合： 材料のレオロジーに合わせて構成関係を修正しますが、流体に独立した回転構造や印加された物体トルクがない限り、非対称性を仮定しないでください。
主な焦点が磁性流体、液晶、粒子を含むマイクロ流体、または場に応答する材料にある場合： 応力の対称性を課す前に、支配モデルにボディカップル、カップル応力、または微細構造の角運動量が含まれているかを確認してください。
主な焦点がマイクロスケールや希薄気体の流れにある場合： 従来の方程式に頼る前に、クヌーセン数を用いて連続体の仮定を検証してください。

標準的なパイロットプラントの流体において、応力の対称性は角運動量保存則から物理的に正当化される結果です。特殊な流体には、それらの追加トルクを明示的に考慮したバランス法則と構成モデルが必要です。

要約表：

トピック	重要なポイント
対称性が適用される理由	独立した物体トルクが存在しない場合、角運動量保存則により補完的なせん断応力が等しくなる必要がある。
標準モデル	ニュートン流体および多くの非ニュートン流体は、対称な粘性応力テンソルを使用する。
パイロットプラントの関連性	この仮定は、配管流、圧力損失、混合、熱交換、およびカラム操作の解析をサポートする。
失敗する可能性がある場合	ボディカップル、カップル応力、マイクロポーラ流体、磁性流体、液晶、回転する微細構造は非対称な応力を生む可能性がある。
個別の検討事項	希薄流やマイクロスケールの流れでは、クヌーセン数による連続体の妥当性の確認が必要な場合がある。
実用的なガイダンス	独立した角運動量や分布トルクが物理的に存在する場合にのみ、構成モデルを変更すること。

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