動的物質収支は、非線形の気液平衡関係を局所的な線形式に置き換え、組成項を整理することによって線形化されます。 段 (n) について、液相成分収支は次のようになります。

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

平衡関係を局所的に (y_i=m_i x_i) と近似し、傾き (m_i) を一定とすると、段の方程式は隣接段と連成した線形微分方程式になります。この形式は、伝達関数の導出、外乱伝播の解析、吸収および蒸留パイロットプラントの組成制御システムの設計の基礎となります。

要点: 線形化により、ホールドアップ、流量、および局所平衡勾配を一定として扱うことで、段収支は1次の動的モデルに変換されます。得られるモデルは通常、連成した1次方程式の集合であり、各段が隣接段と物質を交換するため、段ごとに独立した方程式となるわけではありません。

動的段収支から始める

液相成分の蓄積

液相ホールドアップ (H_n) が一定の場合、段 (n) における吸収または蒸留対象成分の蓄積は次のようになります。

[ H_n\frac{dx_n}{dt}. ]

ここで、(x_n) は段 (n) における液相成分のモル分率です。単位は整合していなければなりません。すなわち、(H_n) がモルホールドアップである場合、(L) と (V) はモル流量である必要があります。

流れによる寄与

段 (n) に流入する液流は (Lx_{n-1}) を供給し、流出する液流は (Lx_n) を持ち去ります。

隣接段から流入する蒸気流は (Vy_{n+1}) を供給し、段 (n) から流出する蒸気流は (Vy_n) を除去します。したがって、

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

この収支は、(L) 一定、(V) 一定、ホールドアップ一定、反応なし、および蒸気相の蓄積が無視できることを仮定しています。

局所平衡近似の適用

線形平衡関係

蒸気相と液相の組成は、次の平衡関数によって関係付けられます。

[ y=f(x). ]

選択した運転点の周辺では、この関係を次のように近似できます。

[ y_i \approx y_{i,0}+m_i(x_i-x_{i,0}), ]

ここで、

[ m_i=\left.\frac{dy}{dx}\right|{x{i,0}}. ]

平衡線の傾きを一定とし、運転点を基準に組成を表す簡略モデルでは、次のようになります。

[ y_i=m x_i. ]

傾き (m) は、システムに応じて局所的な揮発度関係またはヘンリー則の関係を表します。

段収支への代入

(y_n=mx_n) および (y_{n+1}=mx_{n+1}) を用いると、

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+mVx_{n+1}-mVx_n. ]

(x_n) を含む項を整理すると、

[ \boxed{ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1} } ]

または、ホールドアップで割ると、

[ \boxed{ \frac{dx_n}{dt}

\frac{L}{H_n}x_{n-1}

\frac{L+mV}{H_n}x_n + \frac{mV}{H_n}x_{n+1} }. ]

これは、一定流量を仮定した理想平衡段に対する標準的な線形化動的方程式です。

このモデルにおける「線形化」の意味

平衡関係の線形化

元の平衡関係は、特に相対揮発度が大きく変化する蒸留システムでは、非線形になる場合があります。線形化では、選択した定常運転点付近の接線によって、その非線形関係を置き換えます。

この近似は、その運転点周辺で組成変化が比較的小さい場合に有効です。大きな外乱には、完全な非線形気液平衡関係が必要になる場合があります。

物質収支の線形化

(H)、(L)、および (V) が一定であれば、物質収支自体は (x) に関してすでに線形です。さらなる非線形性は、これらの量が組成、温度、圧力、液位、または総流量によって変化するときに生じます。

より一般的なモデルでは、次のように記述します。

[ H_n(x_n)\frac{dx_n}{dt}

L(x_{n-1}-x_n) + V(y_{n+1}-y_n), ]

その後、定常状態の周りでモデルを展開します。

[ x_i=x_{i,0}+\delta x_i, \qquad y_i=y_{i,0}+\delta y_i. ]

平衡による摂動は、次のように近似されます。

[ \delta y_i=m_i\delta x_i. ]

得られる摂動モデルは、係数が運転点で評価される点を除き、ボックス内の方程式と同じ構造になります。

重要な添字の修正

隣接段の蒸気組成を保持する必要がある

よくある添字の誤りは、(y_{n+1}=mx_{n-1}) と代入することです。通常の向流段番号では、段 (n) に流入する蒸気は (y_{n+1}) であり、段 (n+1) の液相組成と関係します。

[ y_{n+1}=mx_{n+1}. ]

したがって、正しく添字を付けた方程式は次のようになります。

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1}. ]

次の式、

[ H\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-(L+mV)x_n+mVx_{n-1} ]

が有効なのは、(x_{n-1}) という変数を、流入蒸気の上流側液相等価組成として意図的に定義している場合に限られます。これは、通常の段添字による平衡代入ではありません。

この違いが重要な理由

(x_{n+1}) を保持すると、連成した塔モデルが得られます。1つの段の組成は両隣の段に応答するため、段塔または離散化された充填塔内の外乱伝播を表現するうえで不可欠です。

隣接段の項を同じ上流変数に置き換えると、より簡単な単一段モデルを作成できますが、物理的な接続関係が変わり、動的予測が不正確になる可能性があります。

段方程式から伝達関数へ

ラプラス領域の形式

初期摂動をゼロ、係数を一定と仮定してラプラス変換を行うと、次のようになります。

[ H_n sX_n(s)

LX_{n-1}(s)

(L+mV)X_n(s) + mVX_{n+1}(s). ]

整理すると、

[ \boxed{ \left[H_n s+(L+mV)\right]X_n(s)

LX_{n-1}(s)+mVX_{n+1}(s) }. ]

この方程式は、塔の動的伝達関数モデルまたは状態空間モデルの1行に相当します。

単一段近似

流入蒸気組成を (x_{n+1}) に関連する状態ではなく、既知の入力として扱う場合、次のように定義します。

[ u_n=Lx_{n-1}+Vy_{n+1}. ]

収支は次のようになります。

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

u_n-(L+mV)x_n. ]

対応する伝達関数は次のとおりです。

[ \boxed{ \frac{X_n(s)}{U_n(s)}

\frac{1}{H_n s+L+mV} } ]

時定数は次のようになります。

[ \boxed{ \tau_n=\frac{H_n}{L+mV} }. ]

入力が上流液相組成のみで、蒸気の寄与を無視するか別途組み込む場合、

[ \frac{X_n(s)}{X_{n-1}(s)}

\frac{L}{H_n s+L+mV}. ]

吸収および蒸留への応用

気液吸収

吸収では、実際の気相組成が平衡値を上回ると、溶質は一般に気相から液相へ移動します。

[ y>y^*(x). ]

平衡勾配 (m) は、液相組成に伴う平衡気相組成の変化を表します。(mV) 項が大きいほど、蒸気相との連成が強まり、段の応答が変化します。

充填吸収塔では、同じ概念を離散的な棚段収支ではなく、分布系の微分モデルとして記述することがよくあります。有限体積法による離散化では、ホールドアップと隣接セルとの連成を持つ段状の方程式が得られます。

蒸留

蒸留では、平衡関係は一般に次のように表されます。

[ y_i=y^*(x_i), ]

ここで、(y^*(x)) は非線形になる場合があります。

運転組成の周辺では、

[ \delta y_i \approx \left.\frac{dy^*}{dx}\right|{x{i,0}}\delta x_i. ]

局所勾配は段ごとに変化する可能性があるため、蒸留塔には通常、単一の普遍的な (m)、(L)、(V) ではなく、係数 (m_n)、(L_n)、(V_n)、および (H_n) があります。

境界条件

内部の段方程式だけでは十分ではありません。凝縮器、再沸器、供給段、還流流、留出物流、缶出物流、および塔端部が、境界条件と操作変数の関係を定めます。

例えば、還流は上部段に流入する液流量を変化させ、ボイルアップは下部段に流入する蒸気流量を変化させます。これらの境界効果は、制御外乱の主要な伝達経路となることがよくあります。

可変ホールドアップおよび可変流量への拡張

総括物質収支

液位またはホールドアップが変化する場合、総括収支を追加する必要があります。一般的な液相ホールドアップ収支は次のとおりです。

[ \frac{dH_n}{dt}

L_{n-1}-L_n+V_{n+1}-V_n, ]

符号と流れの定義は、選択した段の規約に合わせて調整します。

次に、成分収支は成分ホールドアップに関して記述します。

[ \frac{d(H_nx_n)}{dt}

\text{component in}

\text{component out}. ]

微分を展開すると、

[ H_n\frac{dx_n}{dt} + x_n\frac{dH_n}{dt}

\text{component in}

\text{component out}. ]

液相段の液位、再沸器、または凝縮器のホールドアップが大きく変化する場合、追加された (x_n,dH_n/dt) 項は重要になります。

エネルギーおよび圧力の影響

正確なパイロットプラントモデルでは、温度が平衡と流量の両方に影響します。圧力は蒸気組成、飽和条件、および体積流量に影響します。

したがって、組成のみの線形化は、主に一定の温度および圧力の運転点周辺における小さな外乱に適しています。より大きな運転変化には、物質、エネルギー、および圧力収支を連成した方程式が必要です。

トレードオフの理解

線形化モデルの利点

線形化モデルは簡潔で計算効率が高く、伝達関数解析に適しています。時定数、段間連成、外乱減衰、および可制御性を直接把握できます。

特に、塔が安定した公称条件の近くで運転される場合のコントローラ調整や、教育用パイロットプラント実験に有用です。

一定平衡勾配の限界

組成または温度によって相対揮発度が大きく変化する場合、単一の (m) では不十分なことがあります。また、共沸点付近、強い非理想混合物、または広い運転範囲では、この近似が成立しない可能性があります。

このようなシステムでは、段ごとの局所勾配を使用するか、非線形平衡関数をそのまま保持してください。

一定流量および一定ホールドアップの限界

(L)、(V)、および (H) を一定と仮定すると、液位の動特性と水力学的影響が除外されます。その結果、応答速度を楽観的に予測し、流量、圧力、および組成制御間の重要な相互作用を見落とす可能性があります。

段塔のフラッディング、ウィーピング、発泡、または大きな液位変動が生じる可能性がある場合、パイロットプラントでは測定値または独立してモデル化したホールドアップを使用する必要があります。

運転線と動的収支の混同

運転線は、相組成間の定常物質収支関係を表します。それ自体では、組成が時間とともにどのように変化するかを表しません。

動的モデルには (H,dx/dt) のようなホールドアップ項が必要です。これらの項を削除すると、モデルは過渡関係ではなく定常状態の関係になります。

目的に応じた適切な選択

適切なモデルは、目的が制御設計、概念解析、または高精度なパイロットプラント予測のいずれであるかによって異なります。

主な目的がコントローラ設計の場合: 意図した運転点の周りで (y^*(x)) を線形化し、隣接段との連成を保持して、方程式を状態空間形式で構成します。
主な目的が単純な単一段応答の場合: 流入蒸気組成を既知の入力として扱い、1次伝達関数 (1/[Hs+(L+mV)]) を使用します。
主な目的が塔全体の外乱伝播の場合: 各段の方程式で (x_{n-1}) と (x_{n+1}) を保持し、正しい凝縮器、再沸器、供給、還流、および製品の境界条件を適用します。
主な目的が大規模なパイロットプラント過渡現象の場合: 非線形平衡、可変ホールドアップ、変化する流量、および連成したエネルギー・圧力収支を使用します。

適切な線形化塔モデルは、明確に定義された運転点周辺の局所平衡挙動を簡略化しながら、物理的な段間接続を保持します。

まとめ表:

主要要素	線形化モデルから得られる知見
動的収支	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - Lx_n + Vy_{n+1} - Vy_n`
平衡近似	定常運転点付近で `y=f(x)` を `delta y=m delta x` に置き換える
連成段方程式	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - (L+mV)x_n + mVx_{n+1}`
主な仮定	ホールドアップ、液流量、蒸気流量が一定で、蒸気相の蓄積は無視できる
伝達関数形式	`[H_n s + (L+mV)]X_n = LX_{n-1} + mVX_{n+1}`
単一段の時定数	`tau_n = H_n/(L+mV)`
重要な添字のポイント	流入蒸気項は `x_{n+1}` と関連付けられ、隣接段との連成が維持される
最適な用途	コントローラ調整、外乱解析、伝達関数、および状態空間モデリング
非線形モデルが必要な場合	大きな外乱、可変ホールドアップまたは可変流量、強い非理想性、圧力変化、またはエネルギー効果がある場合

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